知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2^x-1，函数g（x）=x²-2x+m．如果对于∀x₁∈[-2，2]，∃x₂∈[-2，2]，使得g（x₂）=f（x₁），则实数m的取值范围是．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=（
1
a
）^2-2x（a＞0，a≠1）的图象恒经过与a无关的定点A，
（1）求点A的坐标
（2）若偶函数g（x）=ax²+bx-c，x∈[1-2c，c]的图象过点A，求a，b，c的值．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=m•9^x-3^x，若存在非零实数x₀，使得f（-x₀）=f（x₀）成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．m≥

B．0＜m＜

C．0＜m＜2

D．m≥2

难度：中等

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4．函数y=f（x）满足lg（lgy）=lg3x+lg（3-x），
（1）求f（x）；
（2）求f（x）的值域；
（3）求f（x）的递减区间．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）
（1）若a=e，g（x）=mx²，m＞0，当函数y=f（x）-g（x）在[-2，4]上有三个不同的零点时，求实数m的取值范围．
（2）若0＜a＜1，A，B是曲线y=f（x）上不同的两点，点C是弦AB的中点，过点C作x轴的垂线交曲线y=f（x）于点D，设直线AB的斜率为k₁，曲线y=f（x）在点D处的切线斜率为k₂，求证：k₁＜k₂．

难度：中等

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6．设a为正实数，函数f（x）=ae^x（e为自然对数的底数）的图象与y轴的交点为A，函数g（x）=ln
x
a
的图象与x轴的交点为B，若点A到函数g（x）的图象上的任意一点的线段长的最小值为|AB|．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）对任意x＞0且x≠1，
x-m
g(x)
＞
x
恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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7．设a＞0，函数f（x）=
3x
a
+
a
3x
是定义域为R的偶函数．
（1）求实数a的值；
（2）证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）求函数的值域．

难度：中等

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8．设f（x）=
a-2x
1+2x
，其中实常数a＞-1
（1）求函数f（x）的定义域和值域
（2）讨论函数f（x）的单调性和奇偶性，并证明你的结论．

难度：中等

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9．如图，函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）的图象经过点A（2，
1
4
），函数g（x）=x²-bx（b＞0）
①设x∈[0，2]时，函数y=g（x）在y=f（x）的下方，在图中画出一个符合题意的函数y=g（x）的大致图象；
对所有符合题意的函数y=g（x），写出b的取值范围
②设函数f（x）的反函数为y=f^-1（x），若当x＞0时，函数y=f^-1（x）与y=g（x）至少要有一个函数的函数值为正实数，求b的取值范围．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=3^x的图象过点（a+2，18）．
（1）求g（x）=3^ax-4^x的解析式；
（2）若函数g（x）的定义域为[0，1]，求g（x）的值域．

难度：中等

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