知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．已知函数f（x）=ax-lnx；g（x）=x³-x²-8x-1
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意x1∈[1， e]，存在x2∈[0， 3]使得f（x₁）≤g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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3．罗源滨海新城建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为（2+
x
）x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
（1）试写出y关于x的函数关系式；
（2）当m=96米时，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y最小？

难度：中等

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4．已知函数f（x）=x³+x-2，g（x）=x³+x²+（1-a）x-1．
（1）若曲线y=f（x）在点P₀处的切线l平行于直线4x-y-1=0，且点P₀在第三象限，求点P₀的坐标；
（2）若对任意的x∈R，都有g（x）＞f（x），求实数a的取值范围．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=-
x
2x+1
．
（1）判断函数f（x）在（-
1
2
，+∞）上的单调性，并给予证明；
（2）设g（x）=tx+
x2
2x+1
，当x∈（
1
2
，3]时，g（x）＞0恒成立，求实数t的取值范围．

难度：中等

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6．已知f（x）=lnx+2．
（I）试分析方程f（x）=kx+k（k＞0）在[1，e]上是否有实根，若有实数根，求出k的取值范围；否则，请说明理由；
（Ⅱ）若函数h（x）=f（x）-x-1，数列{a_n}的通项公式为a_n=
1
n
，其前n项和为S_n，根据函数h（x）的性质，求证：2×3×4×…×n＞e^（n-S_n）．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=e^x-k（x+1）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）任意实数a，b，c，其中a＞0，证明：存在M，当x≥M，e^ax≥bx+c成立．

难度：中等

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8．已知函数f（x）=ax²-lnx+6．
（1）若函数f（x）的极值点为x=
2
2
，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x∈（0，+∞）时，若关于x的不等式f（x）+lnx＜x-ln（x+1）+6恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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9．已知曲线f（x）=
1
3
x³+ax²+3x-
5
6
（a＞-2）在点（1，f（1））处的切线l与坐标轴转成的三角形的面积为
2
5
．
（1）求实数a的值；
（2）若a＞0，且对∀x₁，x₂∈[-1，1]，2 f(x1)-f(x2)-6＜
3 m
恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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10．已知点A（2，4）在幂函数y=f（x）的图象上，也在函数g（x）=f（x）+
a
x3
-1
（1）求函数g（x）的图象在点A处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若函数h（x）=mf（x）-g（x）-1nx在[1，5]上单调递增，求实数m的值．

难度：中等

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