知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知两点F₁（-1，0）及F₂（1，0），点P在以F₁、F₂为焦点的椭圆C上，且|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|构成等差数列．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F₁M⊥l，F₂N⊥l．求四边形F₁MNF₂面积S的最大值．

难度：中等

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2．（2014•安徽模拟）如图，抛物线y=
x
上的点与x轴上的点构成等边三角形OP₁Q₁，O₁P₂Q₂，…Q_n-1P_nQ_n，…其中点P_n在抛物线上，点Q_n的坐为（x_n，0），猜测数列{x_n}的通项公式为．

难度：中等

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3．如果P₁，P₂，…，P₉是抛物线y²=4x上的点，它们的横坐标x₁，x₂，…，x₉依次成等差数列，F是抛物线的焦点，若x₁+x₉=2，则|P₁F|+|P₂F|+…+|P₉F|= ．

难度：中等

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4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S₂=3，且点（2ⁿ，S_n）在直线y=kx-1 上．
（1）求k的值，并证明{a_n}是等比数列；
（2）记T_n为数列{S_n}的前n项和，求使T_N＞2010成立的n最小值．

难度：中等

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5．过点P（1，0）作曲线C：y=x²（x＞0）的切线，切点为Q₁，没Q₁在x轴上的投影是P₁，又过P₁，作曲线C的切线，切点为Q₂，设Q₂在x轴上的投影是P₂…，依次下去，得到一系列点Q₁Q₂，…Q_n，设Q_n的横坐标为a_n．
（I）求a₁的值及{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令bn=
an
(an-1)(an+1-1)
，设数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

难度：中等

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6．在平面直角坐标系中，直线y=-2x+5上有一系列点：P₀（1，3），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…．已知数列{
1
xn-1
}（n∈N^*）是首项为
1
2
，公差为1的等差数列．
（1）求数列{x_n}（n∈N^*）和数列{y_n}（n∈N^*）的通项公式；
（2）是否存在一个半径最小的圆C，使得对于一切n∈N，点P_n（x_n，y_n）均在此圆内部（包括圆周）？若存在，求出此圆的方程；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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7．直线l_n：y=x-
2n
与圆C_n：x²+y²=2a_n+n+2交于不同的两点A_n、B_n，n∈N^*．数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=
1
4
|A_nB_n|²．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=
2n-1 (n为奇数)
an (n为偶数)
，求数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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8．已知数列{a_n}，其前n项和为S_n，点（n，S_n）在以F（0，
1
4
）为焦点，以坐标原点为顶点的抛物线上，数列{b_n}满足b_n=2 an．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n×b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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9．已知正项数列{a_n}中，a₁=2，点(
an
，an+1)在函数y=x²+1的图象上，数列{b_n}中，点（b_n，T_n）在直线y=-
1
2
x+3上，其中T_n是数列{b_n}的前n项和（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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10．如图，已知曲线C：y=
1
x
在点P（1，1）处的切线与x轴交于点Q₁，过点Q₁作x轴的垂线交曲线C于点P₁，曲线C在点P₁处的切线与x轴交于点Q₂，过点Q₂作x轴的垂线交曲线C于点P₂，…，依次得到一系列点P₁、P₂、…、P_n，设点P_n的坐标为（x_n，y_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅱ）求三角形OP_nP_n+1的面积S△OPnPn+1
（Ⅲ）设直线OP_n的斜率为k_n，求数列{nk_n}的前n项和S_n，并证明Sn＜
4
9
．

难度：中等

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