知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．某学校在高一、高二两个年级学生中各抽取100人的样本，进行普法知识调查，其结果如下表：
高一高二总数
合格人数 70 x 150
不合格人数 y 20 50
总数 100 100 200
（1）求x、y的值；
（2）有没有99%的把握认为“高一、高二两个年级这次普法知识调查结果有差异”；（3）用分层抽样的方法从样本的不合格同学中抽取5人的辅导小组，在5人中随机选2人，这2人中正好高一、高二各1人的概率为多少．
参考公式：Χ2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

Χ²≥ 5.024 6.635 7.879 10.828
97.5% 99% 99.5% 99.9%

难度：中等

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2．某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的2×2列联表
优秀非优秀合计
甲班 10 40 50
乙班 20 30 50
合计 30 70 100
（Ⅰ）根据列联表的数据，判断是否有99%的把握认为“成绩与班级有关系”；
（Ⅱ）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班10名优秀学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到8号的概率．
参考公式与临界值表：K²=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
．
P（K²≥k） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828

难度：中等

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3．为了解某校学生喜爱打篮球是否与性别有关，采用随机抽样方法抽取了50名学生进行问卷调查，得到如下的列联表：
喜爱打篮球不喜爱打篮球合计
男生 5
女生 10
合计 50
已知在这50名学生中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为
3
5
．
（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；
（Ⅱ）是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
（Ⅲ）记不喜爱打篮球的5名男生分别为A、B、C、D、E，这5名男生喜爱打乒乓球，
如果从他们当中任选2人作为一对组合参加乒乓球男子双打比赛，求A、B中恰好有1人被选中的概率．
下面的临界值表供参考：
P（K²≥k₀） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k₀ 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式：K²=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d）

难度：中等

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4．（Ⅰ）如表所示是某市最近5年个人年平均收入表节选．求y关于x的回归直线方程，并估计第6年此市的个人年平均收入（保留三位有效数字）．
年份x 1 2 3 4 5
收入y（千元） 21 24 27 29 31
其中
5
i=1
x_iy_i=421，
5
i=1
x_i²=55
附1：
∧
b
=
n
i=1
xiyi-n
.
x
.
y
n
i=1
x
2
i
-n
.
x
2
，
∧
a
=
y
-
∧
b
.
x

（Ⅱ）下表是从调查某行业个人平均收入与接受专业培训时间关系得到2×2列联表：
受培时间一年以上受培时间不足一年
收入不低于平均值 60 20
收入低于平均值 10 10
100
完成上表，并回答：是否有95%以上的把握认为“收入与接受培训时间有关系”．
附2：
P（K²≥k₀） 0.50 0.40 0.10 0.05 0.01 0.005
k₀ 0.455 0.708 2.706 3.841 6.635 7.879
附3：
K²=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
．（n=a+b+c+d）

难度：中等

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5．

某高校经济管理学院在2014年11月11日“双11购物节”期间，对[25，55]岁的人群随机抽取了100人进行调查，得到各年龄段人数频率分布直方图．同时对这100人是否参加“商品抢购”进行统计，结果如下表：
（1）求统计表中a和p的值；
（2）从年龄落在（40，50]内的参加“商品抢购”的人群中，采用分层抽样法抽取6人参加满意度调查，在抽取的6人中，有随机的2人感到“满意”，设感到“满意”的2人中年龄在（40，45]内的人数为X，求X的分布列和数学期望．
（3）通过有没有95%的把握认为，进行“商品抢购”与“年龄低于40岁”有关？说明你的理由．

组数	分组	抢购商品的人数	占本组的频率
第一组	[25，30）	12	0.6
第二组	[30，35）	18	p
第三组	[35，40）	10	0.5
第四组	[40，45）	a	0.4
第五组	[45，50）	3	0.3
第六组	[50，55）	1	0.2

附：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（χ²≥k）	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

难度：中等

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6．在研究某种药物对“H1N1”病毒的治疗效果时进行动物试验，得到以下数据：对一组150只动物服用药物，其中132只动物存活，18只动物死亡；对另一组150只动物进行常规治疗，其中114只动物存活，36只动物死亡．
（1）根据以上数据建立一个2×2列联表．
（2）试问是否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该种药对治疗“H1N1”病毒有效？
附：K²=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K²≥k₀） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.001
k₀ 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828

难度：中等

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7．（2015秋•湛江校级月考）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m³）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2015年8月某日某省x个监测点数据统计如下：
空气污染指数
（单位：μg/m³） [0，50] （50，100] （100，150][ （150，200]
监测点个数 15 40 y 10
（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；
（Ⅱ）在空气污染指数分别为50～100和150～200的监测点中，用分层抽样的方法抽取5个监测点，从中任意选取2个监测点，事件A“两个都为良”发生的概率是多少？

难度：中等

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8．某校在对学生是否喜欢数学的抽样调查中，随机抽取了300名学生，相关的数据如表所示：
喜欢数学课程不喜欢数学课程总计
男 37 85 122
女 35 143 178
总计 72 228 300
由表中数据直观分析，该校学生的性别与是否喜欢数学之间关系（填“有”或“无”）．

难度：中等

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9．
喜欢甜品不喜欢甜品总计
南方学生 60 20 80
北方学生 10 10 20
总计 70 30 100
某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行抽样调查，调查结果如下表所示
（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”
（2）已知在被调查的北方学生中有5人是数学系的学生，其中2人喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率？
参考公式：K²=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，n=a+b+c+d
下面的临界表供参考：
P（K²≥k₀） 0.10 0.05 0.025 0.010
k₀ 2.706 3.841 5.024 6.635

难度：中等

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10．独立性检验中，假设命题H₀：变量X与变量Y没有关系．则在H₀成立的情况下，则 k²≥5.024表示的意义是（　　）

A．变量X与变量Y有关系的概率为2.5%

B．变量X与变量Y没有关系的概率为97.5%

C．变量X与变量Y有关系的概率为97.5%

D．变量X与变量Y没有关系的概率为99%

难度：中等

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进入组卷

	高一	高二	总数
合格人数	70	x	150
不合格人数	y	20	50
总数	100	100	200

P（K²≥k）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

	喜爱打篮球	不喜爱打篮球	合计
男生		5
女生	10
合计			50

P（K²≥k₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	受培时间一年以上	受培时间不足一年
收入不低于平均值	60	20
收入低于平均值	10	10
			100

P（K²≥k₀）	0.50	0.40	0.10	0.05	0.01	0.005
k₀	0.455	0.708	2.706	3.841	6.635	7.879

空气污染指数（单位：μg/m³）	[0，50]	（50，100]	（100，150][	（150，200]
监测点个数	15	40	y	10

	喜欢数学课程	不喜欢数学课程	总计
男	37	85	122
女	35	143	178
总计	72	228	300

	喜欢甜品	不喜欢甜品	总计
南方学生	60	20	80
北方学生	10	10	20
总计	70	30	100

Χ²≥	5.024	6.635	7.879	10.828
	97.5%	99%	99.5%	99.9%

	优秀	非优秀	合计
甲班	10	40	50
乙班	20	30	50
合计	30	70	100

年份x	1	2	3	4	5
收入y（千元）	21	24	27	29	31