知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知△ABC的两个顶点B（-1，0），C（1，0），直线AB，AC所在直线的斜率之积等于m（m≠0），探求顶点A的轨迹．

难度：中等

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2．已知
i
=（1，0），
c
=（0，
2
），若过点A（0，
2
）、以
i
-λ
c
为法向量的直线l₁与过点B（0，-
2
）、以
c
+λ
i
为法向量的直线l₂相交于动点P．
（1）求直线l₁和l₂的方程；
（2）求直线l₁和l₂的斜率之积k₁k₂值，并证明动点P的轨迹是一个椭圆；
（3）在（2）的条件下，设椭圆的两个焦点为E，F．若M，N是l：x=2
2
上两个不同的动点，且
EM
•
FN
=0，试问当|MN|取最小值时，向量
EM
+
FN
与
EF
是否平行，并说明理由．

难度：中等

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3．已知：动点P（x，y）到点F（0，1）的距离比它到直线y+2=0的距离小1，
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）在直线y=-1上任取一点M作曲线C的两条切线l₁，l₂，切点分别为A，B，在y轴上是否存在定点Q，使△ABQ的内切圆圆心在定直线n上？若存在，求出点Q的坐标及定直线n的方程；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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4．如图：已知线段AB=4，动圆O₁与线段AB相切于点C，且AC-BC=2
2
，过点A，B分别作⊙O₁的切线，两切线相交于点P，且P、O₁均在AB的同侧．
（Ⅰ）建立适当坐标系，当O₁位置变化时，求动点P的轨迹E方程；
（Ⅱ）过点B作直线交曲线E于点M、N，求△AMN面积的最小值．

难度：中等

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5．已知圆C：x²+（y-3）²=4，点A（0，-3），M是圆上任意一点，线段AM的中垂线l和直线CM相交于点Q，则点Q的轨迹方程为．

难度：中等

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6．已知定点O（0，0），A（3，0），动点P到定点O距离与到定点A的距离的比值是
1
2
．
（1）记动点P的轨迹为曲线D．求曲线D的方程，并说明方程表示的曲线；
（2）若M是圆E：（x-2）²+（y-4）²=64上任意一点，过M作曲线D的切线，切点是N，求|MN|的取值范围．

难度：中等

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7．（1）若直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限，求实数k的取值范围．
（2）由动点P向圆x²+y²=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，求动点P的轨迹方程．

难度：中等

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8．已知动点P到定点F（0，1）的距离等于点P到定直线l：y=-1的距离．点Q（0，-1）．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点Q作轨迹C的切线，若切点A在第一象限，求切线m的方程；
（Ⅲ）过N（0，2）作倾斜角为60°的一条直线与C交于A、B两点，求AB弦长．

难度：中等

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9．已知B点的坐标为（6，0），A点在曲线y=x²+3上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．

难度：中等

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10．过定点A（3，4）任作互相垂直的两条线l₁与l₂，且l₁与x轴交于M点，l₂与y轴交于N点，求线段MN中点P的轨迹方程．

难度：中等

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