知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知以点A（m，
2
m
）（m∈R且m＞0）为圆心的圆与x轴相交于O，B两点，与y轴相交于O，C两点，其中O为坐标原点．
（1）当m=2时，求圆A的标准方程；
（2）当m变化时，△OBC的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）设直线l：2x+y-4=0与圆A相交于P，Q两点，且|OP|=|OQ|，求|PQ|的值．

难度：中等

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2．已知圆C的方程为x²+y²-2x+4y-m=0．
（I）若点P（m，-2）在圆C的外部，求m的取值范围；
（II）当m=4时，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径所作的圆过原点？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

难度：中等

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3．已知长为2的线段AB中点为C，当线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上运动时，C点的轨迹为曲线C₁；
（1）求曲线C₁的方程；
（2）直线
2
ax+by=1与曲线C₁相交于C、D两点（a，b是实数），且△COD是直角三角形（O是坐标原点），求点P（a，b）与点（0，1）之间距离的最小值．

难度：中等

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4．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x与圆心在第二象限的圆C相切于原点O，且圆C与圆C′：x²+y²-2x-2y-6=0的面积相等．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使点Q到定点F（4，0）的距离等于线段OF的长？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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5．在平面直角坐标系xOy中，圆C的圆心为C（3，1），且直线x=6与圆C相切．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线x-y=0与圆C交于A，B两点，求弦长|AB|的值．

难度：中等

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6．已知定圆C：x²+（y-3）²=4，定直线m；x+3y+6=0，过A（-1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，
（1）当l与m垂直时，求出N点的坐标，并证明：l过圆心C；
（2）当|PQ|=2
3
时，求直线l的方程．

难度：中等

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7．已知圆的半径为
10
，圆心在直线y=2x上，圆被直线x-y=0截得的弦长为4
2
．
（1）求圆的方程．
（2）对于（1）中圆心在第一象限的圆C，从圆C外一点P（x₁，y₁）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．

难度：中等

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8．已知圆C经过点A（-2，0），B（0，2）且圆心C在直线y=x上，又直线L：y=kx+2与圆C相交于P、Q两点．
（1）求圆C的方程；
（2）若∠POQ=120°，求直线L的方程．

难度：中等

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9．已知点P（2，0），圆C的圆心在直线x-y-5=0上且与y轴切于点M（0，-2），
（1）求圆C的方程；
（2）若直线l过点P且被圆C截得的弦长为4
2
，求直线l的方程；
（3）设直线ax-y+1=0与圆C交于A，B两点，过点P（2，0）的直线l₂垂直平分弦AB，这样的实数a是否存在，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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10．已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（-1，0）．
（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；
（2）求点P到直线l的距离的最大值；
（3）设点P在直线l上的射影为点M，N的坐标为（2，1），求线段MN长的取值范围．

难度：中等

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