知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．某音乐喷泉喷射的水珠呈抛物线形，它在每分钟内随时间t（秒）的变化规律大致可用y=-（1+4sin²
tπ
60
）x²+20（sin
tπ
60
）x（t为时间参数，x的单位：m）来描述，其中地面可作为x轴所在平面，泉眼为坐标原点，垂直于地面的直线为y轴．
（1）试求此喷泉喷射的圆形范围的半径最大值；
（2）若在一建筑物前计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个这样的喷泉，则如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？

难度：中等

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2．已知圆O₁：（x-3）²+（y-1）²=1，设点p（x，y）是圆O₁上的动点．
①求P点到直线l：x+y-1=0距离的最值，并求对应P点坐标；
②分别求
y
x
，y-x，（x+3）²+（y+4）²的最值．

难度：中等

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3．已知圆O：x²+y²=25
①过点P（1，-2
6
）作圆O的切线，求切线方程；
②若点M（x，y）是圆O上任意一点，求
3
x+y的最大值．

难度：中等

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4．若实数x，y满足 x²+y²-2x-2y+1=0，则
x-2
y-4
的取值范围为．

难度：中等

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5．喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5m，且与OA所在直线相距4m，水流落在以O为圆心，半径为9m的圆上，则管柱OA的长是多少？

难度：中等

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6．已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线l的距离为2，Q是l上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交l于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值．求∠MAN的度数．

难度：中等

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7．如图：为了保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸）．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直，保护区的边界为圆心M（在线段OA上）与BC相切的圆．建立如图所示的直角坐标系，已知新桥BC所在直线的方程为：4x+3y-680=0．
（1）求新桥端点B的坐标；
（2）当圆形保护区的圆心M在古桥OA所在线段上（含端点）运动时，求圆形保护区的面积的最小值，并指出此时圆心M的位置．

难度：中等

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8．求
2sinθ-6
3cosθ-6
的取值范围．

难度：中等

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9．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P是△ABC内切圆M上的动点，求以PA，PB，PC为直径的三个圆的面积之和的最小值．

难度：中等

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10．已知直线x-my+1=0是圆C：x²+y²-4x+4y-5=0的一条对称轴，则实数m= ．

难度：中等

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