选修\(4—4\)：坐标系与参数方程

已知直线\(l\)的极坐标方程是\(\rho \sin (\theta -\dfrac{\pi }{3})=0\)，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为\(x\)轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线\(C\)的参数方程是\(\begin{cases} & x=2\cos \alpha , \\ & y=2+2\sin \alpha , \\ \end{cases}(α\)为参数\()\)．

\((\)Ⅰ\()\)求直线\(l\)被曲线\(C\)截得的弦长；

\((\)Ⅱ\()\)从极点作曲线\(C\)的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程．

\((1)\) 已知函数\(f(x){=}\begin{cases} 2^{x}{,} & x{\leqslant }0 \\ f(x{-}1){-}1{,} & x{ > }0 \end{cases}\)，则\(f(\log_{2}9){=}\) ______ ．

\((2)\)    变量\(x\)、\(y\)满足线性约束条件\(\begin{cases} 2x{+}y{\leqslant }2 \\ x{-}y{\geqslant }0 \\ y{\geqslant }0 \end{cases}\)，则使目标函数\(z{=}{ax}{+}y(a{ > }0)\)取得最大值的最优解有无数个，则\(a\)的值为______ ．

\((3)\)     已知焦点\(F\)为抛物线\(y^{2}{=}2{px}(p{ > }0)\)上有一点\(A(m{,}2\sqrt{2})\)，以\(A\)为圆心，\(AF\)为半径的圆被\(y\)轴截得的弦长为\(2\sqrt{5}\)，则\(m{=}\) ______ ．

\((4)\)     如图，平面四边形\(ABCD\)中，\({AB}{=}{AD}{=}{CD}{=}1\)，\({BD}{=}\sqrt{2}\)，\({BD}{⊥}{CD}\)，将其沿对角线\(BD\)折成四面体\(A{{{{'}}}-}{BCD}\)，使平面\(A{{{{'}}}}{BD}{⊥}\)平面\({BCD}{.}\)四面体\(A{{{{'}}}-}{BCD}\)顶点在同一个球面上，则该球的体积为______ ．

如图，已知点\(M( \sqrt{3} ,1)\)，圆\(M\)与\(x\)轴及直 线\(y=\sqrt{3}x\)分别相切于 \(A\)、\(B\) 两点，圆\(N\)与圆\(M\)外切，且与\(x\)轴及直线\(y=\sqrt{3}x\)分别相切于 \(C\)、\(D\) 两点．

\((1)\)求圆\(M\)和圆\(N\)的方程；

\((2)\)过点\(B\)作直线\(MN\)的平行线\(l\)，求直线\(l\)被圆\(N\)截得的弦长．

若直线\(l\)：\(x=my+\sqrt{2}\)与曲线\(C:y= \sqrt{1-x^{2}}\)相交于\(A\)，\(B\)两点，\(O\)为坐标原点，当\(\triangle AOB\)的面积取最大值时，实数\(m\)的取值________．

已知点\(P(0,2)\)，设直线\(l:y=kx+b(k,b\in R)\)与圆\(C:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\)相交于异于点\(P\)的\(A,B\)两点．

\((1)\)若\(\overrightarrow{PA}\bullet \overrightarrow{PB}=0\)，求\(b\)的值；

\((2)\)若\(\left| AB \right|=2\sqrt{3}\)，且直线\(l\)与两坐标轴围城的三角形面积为\(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\)，求直线\(l\)的斜率\(k\)的值；

\((3)\)当\(\left| PA \right|\cdot \left| PB \right|=4\)时，是否存在一定圆\(M\)，使得直线\(l\)与圆\(M\)相切？若存在，求出该定圆的标准方程，若不存在，请说明理由．