知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥底面ABC，AB⊥AC，E分别是A₁B₁，CC₁的中点．
（Ⅰ）用基向量
AA1
，
AB1
，
AC1
表示向量
DE
；
（Ⅱ）若AB=AC=AA₁=1，求直线DE与平面AB₁C₁所成角的正弦值．

难度：中等

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2．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M，Q分别是BB₁，BC₁中点，点P在线段C₁M上，且
C1P
=x
C1M
，
（1）用向量
AB
，
AC
，
AA1
表示向量
AQ
；
（2）用向量
AB
，
AC
，
AA1
表示向量
AP
；
（3）若AP与平面A₁BC交于N，
AN
=y
AP
，求出y关于x的函数关系式．

难度：中等

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3．若{
a
，
b
，
c
}是空间的一个基底，试判断{
a
+
b
，
b
+
c
，
c
+
a
}能否作为空间的一个基底．

难度：中等

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4．如图，在正四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，O是AC与BD的交点，PO=1，M是PC的中点．
（1）设
AB
=
a
，
AD
=
b
，
AP
=
c
，用
a
，
b
，
c
表示向量
BM
；
（2）在如图的空间直角坐标系中，求向量
BM
的坐标．

难度：中等

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5．已知{
e1
，
e2
，
e3
}为空间的一个基底，且
OA
=
e1
+2
e2
-
e3
，
OB
=-3
e1
+
e2
+2
e3
，
OC
=
e1
+
e2
-
e3
，能否以{
OA
，
OB
，
OC
}作为空间的一组基底？

难度：中等

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6．空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，试用向量
a
，
b
，
c
表示向量
OG
和
GH
．

难度：中等

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7．如图所示，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别在BB₁和DD₁上，且BE=
1
3
BB₁，DF=
2
3
DD₁．
（1）证明：A、E、C₁、F四点共面．
（2）若
EF
=x
AB
+y
AD
+z
AA1
，求x+y+z．

难度：中等

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8．设
a1
=2
i
-
j
+
k
，
a2
=
j
+3
j
-2
k
，
a3
=-2
i
+
j
-3
k
，
a4
=3
i
+2
j
+5
k
，
i
，
j
，
k
是空间两两垂直的单位向量是否存在实数λμγ，使
a4
=λ
a1
+μ
a2
+γ
a3
成立？不存在请说明理由．

难度：中等

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9．已知三个向量
a
，
b
，
c
不共面，且
p
=
a
+
b
-
c
，
q
=2
a
-3
b
-5
c
，
r
=-7
a
+18
b
+22
c
．试问向量
p
，
q
，
r
是否共面．

难度：中等

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10．如图所示，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是B₁D₁的中点，求证：
B1C
、
OD
、
OC1
是共面向量．

难度：中等

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