知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2015秋•福建校级期末）如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA₁=2，∠A1AD=
π
3
，若O为AD的中点，且CD⊥A₁O．
（Ⅰ）求证：A₁O⊥平面ABCD；
（Ⅱ）线段BC上是否存在一点P，使得二面角D-A₁A-P的大小为
π
3
？若存在，求出BP的长；若不存在，说明理由．

难度：中等

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2．如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，E是CC₁的中点，且A₁B⊥A₁D．
（1）证明：平面A₁BD⊥平面BDE；
（2）求直线A₁D与直线BE所成角的余弦值．

难度：中等

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3．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2CD，E为PB的中点．
（1）证明：CE⊥AB；
（2）若二面角P-CD-A为60°，求直线CE与平面PAB所成角的正切值；
（3）若AB=kPA，求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值．

难度：中等

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4．已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PA、PB、BC的中点．
（1）求点P到平面EFG的距离；
（2）求平面EFG与平面PAB夹角余弦值的大小．

难度：中等

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5．如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，DD₁=AD=2，A₁B₁=1，C₁E∥平面 ADD₁A₁．
（Ⅰ）证明：E为AB的中点；
（Ⅱ）求二面角A-C₁E-D的余弦值．

难度：中等

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6．如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=AD=2A₁B₁，∠BAD=60°
（1）证明：BB₁⊥AC；
（2）若AB=2，且二面角A₁-AB-C大小为60°，连接AC，BD，设交点为O，连接B₁O．求三棱锥B₁-ABO外接球的体积．
（球体体积公式：V=
4
3
πR³，R是球半径）

难度：中等

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7．如图，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB=4，AC、BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线l，并且AC=3，BD=12，求CD的长．

难度：中等

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8．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=
3
，点E在棱AB上．
（1）求异面直线D₁C与A₁D所成的角的余弦值；
（2）当二面角D₁-EC-D的大小为45°时，求点B到面D₁EC的距离．

难度：中等

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9．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2BC=2BB₁，沿平面C₁BD把这个长方体截成两个几何体：
（Ⅰ）设几何体（1）、几何体（2）的体积分为是V₁、V₂，求V₁与V₂的比值；
（Ⅱ）在几何体（2）中，求二面角P-QR-C的正切值．

难度：中等

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10．如图，在直四棱ABCD-A₁B₁C₁D₁中（侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱），底面ABCD是边长为4的菱形，且∠DAB=60°，AA₁=2
3
，P、Q分别是棱A₁D₁和AD的中点，R为PB的中点．
（Ⅰ）求证：QR⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角R-QC-B的余弦值．

难度：中等

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