知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，四边形\(ABCD\)为正方形，\(PD⊥\)平面\(ABCD\)，\(PD/\!/QA\)，\(QA=AB= \dfrac {1}{2}PD\)．
\((\)Ⅰ\()\)证明：平面\(PQC⊥\)平面\(DCQ\)
\((\)Ⅱ\()\)求二面角\(Q-BP-C\)的余弦值．

难度：中等

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2．
如图\(1\)，在直角梯形\(ABCD\)中，\(∠ADC=90^{\circ}\)，\(CD/\!/AB\)，\(AB=4\)，\(AD=CD=2\)，\(M\)为线段\(AB\)的中点\(.\)将\(\triangle ADC\)沿\(AC\)折起，使平面\(ADC⊥\)平面\(ABC\)，得到几何体\(D-ABC\)，如图\(2\)所示．
\((\)Ⅰ\()\)求证：\(BC⊥\)平面\(ACD\)；
\((\)Ⅱ\()\)求二面角\(A-CD-M\)的余弦值．

难度：中等

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3．
如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，\(PA⊥\)底面\(ABCD\)，\(AD⊥AB\)，\(AB/\!/DC\)，\(AD=DC=AP=2\)，\(AB=1\)，点\(E\)为棱\(PC\)的中点．
\((\)Ⅰ\()\)证明：\(BE⊥DC\)；
\((\)Ⅱ\()\)求直线\(BE\)与平面\(PBD\)所成角的正弦值；
\((\)Ⅲ\()\)若\(F\)为棱\(PC\)上一点，满足\(BF⊥AC\)，求二面角\(F-AB-P\)的余弦值．

难度：中等

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4．
如图，在四棱锥\(S-ABCD\)中，\(SD⊥\)底面\(ABCD\)，底面\(ABCD\)是矩形，且\(SD=AD= \sqrt {2}AB\)，\(E\)是\(SA\)的中点．
\((1)\)求证：平面\(BED⊥\)平面\(SAB\)；
\((2)\)求平面\(BED\)与平面\(SBC\)所成二面角\((\)锐角\()\)的大小．

难度：中等

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5．
如图，四棱锥\(P-ABCD\)中，\(\triangle PAD\)为等边三角形，且平面\(PAD⊥\)平面\(ABCD\)，\(AD=2BC=2\)，\(AB⊥AD\)，\(AB⊥BC\)．

\((1)\)证明：\(PC⊥BC\)；

\((2)\)若直线\(PC\)与平面\(ABCD\)所成角为\(60^{0}\)，求二面角\(B-PC-D\)的余弦值．

难度：中等

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6．

如图，在直三棱柱\(A_{1}B_{1}C_{1}—ABC\)中，\(AB⊥AC\)，\(AB=AC=2\)，\(A_{1}A=4\)，点\(D\)是\(BC\)的中点．

\((1)\)求异面直线\(A_{1}B\)与\(C_{1}D\)所成角的余弦值；

\((2)\)求平面\(ADC_{1}\)与平面\(ABA_{1}\)所成二面角的正弦值．

难度：中等

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7．
如图，在四棱锥\(P{-}ABCD\)中，\(AD{⊥}\)平面\(PCD\)，\(PD{⊥}CD\)，底面\(ABCD\)是梯形，\(AB{/\!/}DC\)，\(AB{=}AD{=}PD{=}1\)，\(CD{=}2AB\)，\(Q\)为棱\(PC\)上一点．

\((\)Ⅰ\()\)若点\(Q\)是\(PC\)的中点，证明：\(BQ{/\!/}\)平面\(PAD\)；
\((\)Ⅱ\()\overrightarrow{{PQ}}{=}\lambda\overrightarrow{{PC}}\)试确定\(\lambda\)的值使得二面角\(Q{-}BD{-}P\)为\(60^{{∘}}\)．

难度：中等

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8．如图，在正四棱锥\(P-ABCD\)中，\(PA=AB=a\)，点\(E\)在棱\(PC\)上．
\((1)\)问点\(E\)在何处时，\(PA/\!/\)平面\(EBD\)，并加以证明；
\((2)\)求二面角\(C-PA-B\)的余弦值．

难度：中等

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9．
如图，在三棱柱\(ABC−{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)中，\(C{{C}_{1}}\bot \)平面\(ABC\)，\(D\)，\(E\)，\(F\)，\(G\)分别为\(A{{A}_{1}}\)，\(AC\)，\({{A}_{1}}{{C}_{1}}\)，\(B{{B}_{1}}\)的中点，\(AB=BC=\sqrt{5}\)，\(AC=A{{A}_{1}}=2\)．

\((\)Ⅰ\()\)求证：\(AC⊥\)平面\(BEF\)；

\((\)Ⅱ\()\)求二面角\(B−CD−C_{1}\)的余弦值；

\((\)Ⅲ\()\)证明：直线\(FG\)与平面\(BCD\)相交．

难度：中等

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10．如图，在以 \(A\)， \(B\)， \(C\)， \(D\)， \(E\)， \(F\)为顶点的五面体中，面 \(ABEF\)为正方形， \(AF\)\(=2\) \(FD\)，\(∠\) \(AFD\)\(=90^{\circ}\)，且二面角 \(D\)\(\) \(AF\)\(\) \(E\)与二面角 \(C\)\(\) \(BE\)\(\) \(F\)都是\(60^{\circ}\)．

\((1)\)证明：平面\(ABEF\)\(⊥\)平面\(EFDC\)；

\((2)\)求二面角\(E\)\(\)\(BC\)\(\)\(A\)的余弦值．

难度：中等

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