知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在边长为2的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E是BC的中点，F是DD′的中点
（1）求证：CF∥平面A′DE
（2）求二面角E-A′D-A的平面角的余弦值．

难度：中等

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2．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，E是SD的中点，AD=
2
，DC=SD=2．
（1）证明：SB∥平面ACE；
（2）求二面角A-SB-C的余弦值；
（3）设点F在侧棱SC上，∠ABF=60°，求
SF
FC
．

难度：中等

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3．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CB=1，CA=
3
，AA₁=3，M为侧棱CC₁上一点，AM⊥BA₁．
（Ⅰ）求证：AM⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求平面ABM与平面AB₁C₁所夹锐角的余弦值．

难度：中等

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4．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧面AA₁C₁C⊥侧面ABB₁A₁，AA₁=A₁C=CA=2，AB=A1B=
2
．
（1）求证：AA₁⊥BC；
（2）求二面角A-BC-A₁的余弦值；
（3）若
BD
=2
DB1
，在线段CA₁上是否存在一点E，使得DE∥平
面ABC？若存在，求出CE的长；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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5．如图所示，已知ABCD是正方形，边长为2，PD⊥平面ABCD．
（1）若PD=2，①求异面直线PC与BD所成的角，②求二面角D-PB-C的余弦值；
③在PB上是否存在E点，使PC⊥平面ADE，若存在，确定点E位置，若不存在说明理由；
（2）若PD=m，记二面角D-PB-C的大小为θ，若θ＜60°，求m的取值范围．

难度：中等

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6．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E、F分别为BC、PD的中点，PA=AB．
（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）求直线EF与平面PCD所成的角．

难度：中等

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7．如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB．点E在棱PA上，．
（1）求异面直线PA与CD所成的角；
（2）点E在棱PA上，且
PE
=λ
EA
，当λ为何值时，有PC∥平面EBD；
（3）在（2）的条件下求二面角A-BE-D的平面角的余弦值．

难度：中等

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8．设两不同直线a，b的方向向量分别是

，

，平面α的法向量是

，
则下列推理①

∥

⇒b∥α；②

∥

⇒a∥b；③

∥

b⊄α

⊥

⇒b∥α； ④

∥

⇒b⊥α；
其中正确的命题序号是（　　）

A．①②③

B．②③④

C．①③④

D．①②④

难度：中等

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9．已知等腰梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=1，高DO=1．以高线DO为折痕，将平面ADO折起，使得平面ADO⊥平面BCDO，点H为棱AC的中点．
（1）求直线OC与直线AB所成的余弦值；
（2）求平面ADO与平面ACB所成的锐二面角的余弦值；
（3）在平面ADO内找一点G，使得GH⊥平面ACB．

难度：中等

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10．如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．
（1）求证：PB∥平面EFG；
（2）求异面直线EG与BD所成的角；
（3）在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离为
4
5
．若存在，求出CQ的值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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