知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E为DD₁的中点，
（1）求证：BD₁∥平面ACE；
（2）求△ACE的面积．

难度：中等

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2．如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱DD₁的中点．
（1）若正方体的棱长为1，求三棱锥B₁-A₁BE的体积；
（2）在棱C₁D₁上是否存在一点F，使B₁F∥面A₁BE？若存在，试确定点F的位置，并证明你的结论．

难度：中等

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3．在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁和BB₁的中点．
（1）求证：四边形AEC₁F为平行四边形；
（2）求直线AA₁与平面AEC₁F所成角的正弦值．

难度：中等

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4．空间四边形ABCD中，P、Q、R、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
（1）求证：四边形PQRH是平行四边形；
（2）若AC=BD，则四边形PQRH是什么四边形？
（3）若AC⊥BD，则四边形PQRH是什么四边形？
（4）空间四边形ABCD满足什么条件时，PQRH是正方形？

难度：中等

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5．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，PA=BC=AC=4，D为PC的中点．
（1）求证：AD⊥平面PBC；
（2）在∠ACB的平分线上确定一点Q，使得PQ∥平面ABD，并求此时PQ的长．

难度：中等

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6．已知三棱锥E-ABD各个面均为直角三角形，且Rt△ADE的直角顶点为A，其中AE=AB，∠ABD=
π
6
，以AB为直径在平面ABD内画圆，且经过点D，任取圆上一点C（不与A，B两点重合）．
（1）求证：△BCE为直径三角形；
（2）若四边形ABCE为一个等腰梯形，且BC=1，求几何体C-BDE的体积．

难度：中等

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7．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁=A₁C₁，F为B₁C₁的中点，D，E分别是棱BC，CC₁上的点，且AD⊥BC．
（1）求证；直线A₁F∥平面ADE；
（2）E为C₁C中点，能否在直线B₁B上找一点N，使得A₁N∥平面ADE？若存在，确定该点位置；若不存在，说明理由．

难度：中等

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8．在空间四边形ABCD中，设AB⊥CD，AC⊥BD．
求证：（1）AD⊥BC；
（2）点A在底面BCD上的射影是△BCD的垂心．

难度：中等

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9．如图所示，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，底面CDEF为直角梯形，且平面ABCD⊥平面CDEF，CF∥DE，CD⊥DE，AB=2BC=2CF=2，DE=3CF．
（1）试问：线段AE上是否存在一点P，使得PF∥平面ABCD？请说明理由；
（2）若P是AE的中点，求三棱锥P-CEF的体积．

难度：中等

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10．如图，在三棱锥ABCD中，点M，N分别是△ABC和△ACD的重心，求证：MN∥BD．

难度：中等

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