知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是平行四边形，E，F分别在棱BB₁，DD₁上，且AF∥EC₁．
（1）求证：AE∥FC₁；
（2）若AA₁⊥平面ABCD，四边形AEC₁F是边长为
6
的正方形，且BE=1，DF=2，求线段CC₁的长，并证明：AC⊥EC₁．

难度：中等

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2．如图，在五面体中，平面ABCD⊥平面BFEC，Rt△ACD、RtACB、Rt△FCB、Rt△FCE为全等直角三角形，AB=AD=FB=FE=1，斜边AC=FC=2．
（Ⅰ）证明：AF∥DE；
（Ⅱ）求棱锥D-BCEF的体积．

难度：中等

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3．在如图所示的几何体中，四边形ACC₁A₁是矩形，FC₁∥BC，EF∥A₁C₁，∠BCC₁=90°，点A、B、E、A₁在一个平面内，AB=BC=CC₁=2，AC=2
2
．
（1）证明：A₁E∥AB；
（2）若A₁E=C₁F=1，求平面BEF与平面ABC所成夹角的正切值．

难度：中等

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4．在如图所示的几何体中，四边形ACC₁A₁是矩形，FC₁∥BC，EF∥A₁C₁，∠BCC₁=90°，点A、B、E、A₁在一个平面内，AB=BC=CC₁=2，AC=2
2
．
（1）证明：A₁E∥AB；
（2）证明：平面CC₁FB⊥平面AA₁EB．

难度：中等

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5．
已知：平面α，β，γ，α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b求证：a∥b．

难度：中等

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6．请先用文字叙述两个平面平行的性质定理，然后写出已知、求证、画出图象并写出证明过程．

难度：中等

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7．如图1，在平面内，ABCD是∠BAD=60°，且AB=a的菱形，ADD′′A₁和CD D′C₁都是正方形．将两个正方形分别沿AD，CD折起，使D′′与D′重合于点D₁．设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D₁位于平面ABCD同侧（图2）．
（Ⅰ）设二面角E-AC-D₁的大小为θ，若
π
4
≤θ≤
π
3
，求线段BE长的取值范围；
（Ⅱ）在线段D₁E上存在点P，使平面PA₁C₁∥平面EAC，求
D1P
PE
与BE之间满足的关系式，并证明：当0＜BE＜a时，恒有
D1P
PE
＜1．

难度：中等

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8．如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在CE上，点M是线段AB的中点．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）求三棱锥D-AEC的体积；
（3）试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．

难度：中等

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9．已知平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，线段AB与线段CD交于点S，若AS=18，BS=27，CD=34，则CS= ．

难度：中等

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10．如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，M，N，Q分别PB，PC，AB的中点．
求证：（1）MN∥平面PAD；
（2）QN∥平面PAD．

难度：中等

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