知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（1）若x，y都是正实数，且x+y＞2，求证：
1+x
y
＜2和
1+y
x
＜2中至少有一个成立．
（2）已知a、b、c∈R⁺，求证：
a2+b2+c2
3
≥
a+b+c
3
．

难度：中等

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2．求证：
（1）当a＞1时，
a+1
+
a-1
＜2
a
；
（2）1，
2
，3不可能是一个等差数列中的三项．

难度：中等

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3．用分析法证明：
3
-
2
＞
6
-
5
．

难度：中等

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4．若x，y＞0，且x+y＞2，求证：
1+x
y
，
1+y
x
至少有一个小于2．

难度：中等

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5． ①若正实数a，b，c满足a+2b+3c=8，求
1
a
+
2
b
+
3
c
的最小值．
②若a，b，c均为正实数，求证：a+
1
b
，b+
1
c
，c+
1
a
的值至少有一个不小于2．

难度：中等

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6．用反证法证明命题：“m，n∈N^*，如果mn能被3整除，那么m，n中至少有一个数能被3整除”时，第一步反设的内容应为．

难度：中等

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7．已知a₁+a₂+a₃+a₄＞100，求证：a₁，a₂，a₃，a₄中至少有一个数大于25．

难度：中等

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8．已知函数y=f（x）=3^x+
x-2
x+1
．
（1）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
（2）用反证法证明方程f（x）=0没有负数根．

难度：中等

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9．设函数f（x）=3ax²-2（a+b）x+b（a＞0）中，|f（0）|≤2，|f（1）|≤2，
（1）证明：0≤x≤1时，有|f（x）|≤2；
（2）是否存在函数f（x）使f（
1
2
）=-2？若存在求出函数f（x）的解析式，若不存在，说明理由．

难度：中等

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10．圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平行，已知在⊙O中，弦AB，CD相交于P，且AB，CD不全是直径，求证：AB，CD不能互相平分．

难度：中等

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