知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=mx-
m
x
，g（x）=3lnx．
（1）当m=4时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若x∈（1，
e
]（e是自然对数的底数）时，不等式f（x）-g（x）＜3恒成立，求实数m的取值范围．

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2．已知函数f（x）=
c
ax+b
(a，b∈R)满足f（x）的图象与直线x+y-1=0相切于点（0，1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）对任意n∈N，定义f₀（x）=x，f_n+1（x）=f（f（x_n）），F_n（x）=f₀（x）+f₁（x）+f₂（x）+…+f_n（x）．证明：对任意x＞y＞0，均有F_n（x）＞F_n（y）．

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3．设函数f（x）=x²+ax+b，a，b∈R．
（Ⅰ）若2a+b=4，证明：|f（x）|在区间[0，4]上的最大值M（a）≥12；
（Ⅱ）存在实数a，使得当x∈[0，b]时，1≤f（x）≤10恒成立，求实数b的最大值．

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4．函数f（x）=lnx，g（x）是f（x）的反函数．
（I）求证：当x≥0时，f（x+1）≥-
1
2
x²+x；
（Ⅱ）若g（x）+g（-x）≤2g（mx²）对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

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5．已知函数f（x）=lnx-kx+1．
（1）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（2）证明：
ln2
3
+
ln3
8
+
ln4
15
+…
lnn
n2-1
+（1+
1
n
）ⁿ＜
n2+n+10
4
（n∈N^*且n＞1）．

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6．已知函数f(x)=
kx-1
x+1

（Ⅰ）若f（x）在（-1，+∞）上是增函数，求k的取值范围；
（Ⅱ）当x＞0时，f（x）＜ln（x+1）恒成立，求整数k的最大值．

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7．已知f（x）=1-
2
2x+1
，g（x）=2sin（2x-
π
6
）．
（1）若函数g（x）=（2^x+1）•f（x）+k有零点，求实数k的取值范围；
（2）对任意x₁∈（0，1），总存在x₂∈[-
π
4
，
π
6
]，使不等式f（x₁）-m•2 x1＞g（x₂）成立，求实数m的取值范围．

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8．设m为实数，函数f（x）=2x²+（x-m）|x-m|，h（x）=
f(x)
x
，x≠0
0，x=0

（1）若f（1）≥4，求m的取值范围；
（2）若m＞0，对一切x∈[1，2]，不等式h（x）≥1恒成立，求正实数m的取值范围．

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9．已知函数f（x）=
1
(x-2)2
-2x+cos2θ-3sinθ+2的值在x＜2时恒正，则参数θ在（0，π）上的取值范围是．

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10．已知函数f（x）=（-x²+ax+b）（e^x-e），当x＞0时f（x）≤0，则实数a的取值范围是．

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