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          共50条信息

            • 1． 对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现：“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，解答问题：若函数g（x）=x3-x2+3x-+，则的值是（　　）
              A．2010
              B．2011
              C．2012
              D．2013
              难度：较难
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            • 2． 已知函数f（x）=（ax2+x+2）ex（a＞0），其中e是自然对数的底数．
              （1）当a=2时，求f（x）的极值；
              （2）若f（x）在[-2，2]上是单调增函数，求a的取值范围；
              （3）当a=1时，求整数t的所有值，使方程f（x）=x+4在[t，t+1]上有解．
              难度：较难
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            • 3． （文科）已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=    ．
              （理科）曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为    ．
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            • 4． 已知函数f（x）=lnx．
              （1）若直线y=
              1
              2
              x+m是曲线y=f（x）的切线，求m的值；
              （2）若直线y=ax+b是曲线y=f（x）的切线，求ab的最大值；
              （3）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），是曲线y=f（x）上相异三点，其中0＜x1＜x2＜x3，求证：
              f(x2)-f(x1)
              x2-x1
              ＞
              f(x3)-f(x2)
              x3-x2
              ．
              难度：较难
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            • 5． 已知函数f（x）=2ex，函数g（x）=k（x+1），若函数f（x）图象恒在函数g（x）图象的上方（没有交点），则实数的取值范围是（　　）
              A．k＞2
              B．k≥2
              C．0≤k≤2
              D．0≤k＜2
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            • 6． 若函数f（x）=x2+2x+a（a∈R，x＜0）图象上两点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2）处的切线相互垂直，则x2-x1的最小值为    ．
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            • 7． 已知定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d，∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值-
              2
              5
              ．
              （Ⅰ）求f（x）的解析式；
              （Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使得在此两点处的切线互相垂直？证明你的结论．
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            • 8． 已知函数f（x）=x3+3ax-1，a∈R．
              （Ⅰ）若函数y=f（x）的图象在x=1处的切线与直线y=6x+6平行，求实数a的值；
              （Ⅱ）设函数g（x）=f′（x）-6，对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0成立，求实数x的取值范围；
              难度：较难
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            • 9． 我们把y=xm（m∈Q）叫做幂函数．幂函数y=xm（m∈Q）的一个性质是：当m＞0时，在（0，+∞）上是增函数；当m＜0时，在（0，+∞）上是减函数．设幂函数f（x）=xn（n≥2，n∈N）．
              （1）若gn（x）=f（x）+f（a-x），x∈（0，a），证明：
              an
              2n-1
              ≤gn(x)＜an
              （2）若gn（x）=f（x）-f（x-a），对任意n≥a＞0，证明：gn′（n）≥n!a．
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            • 10． 已知函数f（x）=x2-4，设曲线y=f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1，0）（n∈N*），其中x1为正实数．
              （Ⅰ）用xn表示xn+1；
              （Ⅱ）证明：对一切正整数n，xn+1≤xn的充要条件是x1≥2
              （Ⅲ）若x1=4，记an=lg
              xn+2
              xn-2
              ，证明数列{an}成等比数列，并求数列{xn}的通项公式．
              难度：较难
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