知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知f（x）=xlnx，g（x）=
ax2
2
，直线l：y=（k-3）x-k+2
（1）函数f（x）在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值
（2）若至少存在一个x₀∈[1，e]使f（x₀）＜g（x₀）成立，求实数a的取值范围
（3）设k∈Z，当x＞1时f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．

难度：较难

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2．设函数f（x）=lnx-ax，a∈R．
（1）当x=1时，函数f（x）取得极值，求a的值；
（2）当0＜a＜
1
2
时，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值；
（3）当a=-1时，关于x的方程2mf（x）=x²（m＞0）有唯一实数解，求实数m的值．

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3．已知函数f（x）=x²-2x+alnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），不等式f（x₁）≥mx₂恒成立，求实数m的取值范围．

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4．已知函数f（x）=
ax
1+x2
+1（a≠0）．
（1）当a=1时，求函数f（x）图象在点（0，1）处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若a＞0，g（x）=x²e^mx，且对任意的x₁，x₂∈[0，2]，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，求实数m的取值范围．

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5．设函数f（x）=x-
1
x
-mlnx
（1）若函数f（x）在定义域上为增函数，求m范围；
（2）在（1）条件下，若函数h（x）=x-lnx-
1
e
，∃x₁，x₂∈[1，e]使得f（x₁）≥h（x₂）成立，求m的范围．

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6．已知函数f（x）=ax²+x-xlnx（a∈R）
（Ⅰ）若a=0，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）满足f（1）=2且在定义域内f（x）≥bx²+2x恒成立，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）当
1
e
＜x＜y＜1时，试比较
y
x
与
1+lny
1+lnx
的大小．

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7．己知函数f（x）=
1
3
x3-ax2-3ax+b，实数a＞0，b＞0．若函数f（x）在x=0处的切线斜率为-3，
（1）试确定a的值；
（2）若b=0，求f（x）的极大值和极小值；
（3）若当x∈[b，3b]时，f（x）＞4b恒成立．求b的取值范围．

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8．设f（x）=（x+1）e^ax（其中a≠0），曲线y=f（x）在x=
1
a
处有水平切线．
（1）求a的值；
（2）设g（x）=f（x）+x+xlnx，证明：对任意x₁，x₂∈（0，1）有|g（x₁）-g（x₂）|＜e^-1+2e^-2．

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9．已知函数f（x）=mx-
m
x
，g（x）=3lnx．
（1）当m=4时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若x∈（1，
e
]（e是自然对数的底数）时，不等式f（x）-g（x）＜3恒成立，求实数m的取值范围．

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10．已知函数f（x）=lnx-（1+a）x²-x．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＜1时，证明：对任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜-
lnx
x
-（1+a）x²-a+1．

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