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          共50条信息

            • 1． 已知函数f（x）=
              ax
              ex
              在x=0处的切线方程为y=x．
              （1）求a的值；
              （2）若对任意的x∈（0，2），都有f（x）＜
              1
              k+2x-x2
              成立，求k的取值范围；
              （3）若函数g（x）=lnf（x）-b的两个零点为x1，x2，试判断g′（
              x1+x2
              2
              ）的正负，并说明理由．
              难度：较难
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            • 2． 已知函数f（x）=ex[
              1
              3
              x3-2x2+（a+4）x-2a-4]，其中a∈R，e为自然对数的底数．
              （1）若函数f（x）的图象在x=0处的切线与直线x+y=0垂直，求a的值；
              （2）关于x的不等式f（x）＜-
              4
              3
              ex在（-∞，2）上恒成立，求a的取值范围；
              （3）讨论函数f（x）极值点的个数．
              难度：较难
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            • 3． 已知函数f(x)=
              1
              2
              x2-(a+
              1
              a
              )x+lnx              ，其中a＞0．
              （Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的方程；
              （Ⅱ）当a≠1时，求函数f（x）的单调区间；
              （Ⅲ）若a∈(0，
              1
              2
              )              ，证明对任意x1，x2∈[
              1
              2
              ，1](x1≠x2)              ，
              |f(x1)-f(x2)|
              x
              2
              1
              -
              x
              2
              2
              ＜
              1
              2
              恒成立．
              难度：较难
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            • 4． 设函数f（x）=
              e2-1
              x
              ，x≠0．其中e=2.71828…
              （1）设h（x）=f（x）+
              1
              x
              ，求函数h（x）在[
              1
              2
              ，2]上的值域；
              （2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式|f（x）-1|＜a成立．
              难度：较难
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            • 5． 已知f（x）=e2x+（1-2t）ex+t2
              （1）若g（t）=f（1），讨论关于t的函数y=g（t）在t∈[0，m]（m＞0）上的最小值；
              （2）若对任意的t∈R，x∈[0，+∞）都有f（x）≥ax+2-cosx，求a的范围．
              难度：较难
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            • 6． 已知函数f（x）=xlnx和g（x）=m（x2-1）（m∈R）
              （Ⅰ）m=1时，求方程f（x）=g（x）的实根；
              （Ⅱ）若对于任意的x∈（1，+∞），函数y=g（x）的图象总在函数y=f（x）图象的上方，求m的取值范围；
              （Ⅲ）求证：
              4
              4×12-1
              +
              4×2
              4×22-1
              +…+
              4×n
              4×n2-1
              ＞ln（2n+1）（n∈N*）
              难度：较难
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            • 7． 设函数f（x）=lnx-ax在点A（1，f（1））处的切线为l．
              （1）证明：无论a为何值，函数f（x）的图象恒在直线l的下方（点A除外）；
              （2）设点Q（x0，f（x0）），当x0＞1时，直线QA的斜率恒小于2，求实数a的取值范围．
              难度：较难
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            • 8． 某山体外围有两条相互垂直的直线型公路，为开发山体资源，修建一条连接两条公路沿山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为L．如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和80千米，点N到l1的距离为100千米，以l1，l2 所在的直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=
              a
              x
              模型（其中a为常数）．
              （1）设公路L与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．
              ①请写出公路L长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；
              ②当t为何值时，公路L的长度最短？求出最短长度．
              （2）在公路长度最短的同时要求美观，需在公路L与山体之间修建绿化带（如图阴影部分），求绿化带的面积．
              难度：较难
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            • 9． 已知函数f（x）=lnx-ax-3（a≠0）
              （Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
              （Ⅱ）若对于任意的a∈[1，2]，若函数g（x）=x3+
              x2
              2
              [m-2f′（x）]在区间（a，3）上有最值，求实数m的取值范围；
              （Ⅲ）求证：ln（
              1
              22
              +1）+ln（
              1
              32
              +1）+ln（
              1
              42
              +1）+…+ln（
              1
              n2
              +1）＜
              2
              3
              （n≥2，n∈N*）．
              难度：较难
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            • 10． 设函数f（x）=emx-mx2．
              （1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线L1的方程；
              （2）当m＞0时，要使f（x）≥1对一切实数x≥0恒成立，求实数m的取值范围；
              （3）求证：
              n
              i=1
              e-i(i+1)＜
              1
              		e
              +
              1
              3
              -
              1
              2n+1
              ．
              难度：较难
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