知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．定义max{a，b}表示实数a，b中的较大的数．已知数列{a_n}满足a₁=a（a＞0），a₂=1，a_n+2=
2max{an+1，2}
an
（n∈N），若a₂₀₁₅=4a，记数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₅的值为．

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2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若2S_n+3=3a_n（n∈N^*），则数列{a_n}的通项公式a_n= ．

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3．函数f（x）=x²-ax+a（x∈R），数列{
a

n
}的前n项和S_n=f（n），且f（x）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求数列{
a

n
}的通项公式．

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4．定义数列如下：a₁=2，a_n+1=a_n²-a_n+1，n∈N^*，求证：
（Ⅰ）对于n∈N^*恒有a_n+1＞a_n成立；
（Ⅱ）1-
1
22015
＜
1
a1
+
1
a2
+…+
1
a2015
＜1．

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5．定义：对于数列{x_n}，如果存在常数p，使对任意正整数n，总有（x_n+1-p）（x_n-p）＜0成立，那么我们称数列{x_n}为“p-摆动数列”．
（1）设a_n=2n-1，bn=qn（-1＜q＜0），n∈N^*，判断数列{a_n}、{b_n}是否为“p-摆动数列”，并说明理由；
（2）已知“p-摆动数列”{c_n}满足：cn+1=
1
cn+1
，c₁=1．求常数p的值；
（3）设dn=(-1)n•( 2n-1)，n∈N^*，且数列{d_n}的前n项和为S_n．求证：数列{S_n}是“p-摆动数列”，并求出常数p的取值范围．

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6．对于数列{a_n}，若∀m，n∈N^*（m≠n），均有
am-an
m-n
≥t（t为常数），则称数列{a_n}具有性质P（t）
（1）若数列{a_n}的通项公式为a_n=n²，具有性质P（t），则t的最大值为
（2）若数列{a_n}的通项公式为a_n=n²-
a
n
，具有性质P（7），则实数a的取值范围是．

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7．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=
1
2an+1
（n∈N^*）．
（1）证明：数列{|a_n-
1
2
|}为单调递减数列；
（2）记S_n为数列{|a_n+1-a_n|}的前n项和，证明：S_n＜
5
3
（n∈N^*）．

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8．设各项均为正数的数列{a_n}满足
Sn
an
=pn+r（p，r为常数），其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）若p=1，r=0，求证：{a_n}是等差数列；
（2）若p=
1
3
，a₁=2，求数列{a_n}的通项公式；
（3）若a₂₀₁₅=2015a₁，求p•r的值．

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9．设数列{a_n}的前n和为S_n，满足S_n=a_n+1+n²-3，n∈N^*，且S₃=15．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

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10．已知f（x）=m^x（m为常数，m＞0且m≠1）．设f(a1)，f(a2)，…，f(an)(n∈N*)是首项为4，公比为2的等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_n•f（a_n），且数列{b_n}的前n项和S_n，当m=
2
时，求S_n；
（3）若c_n=a_n•f（n），问是否存在实数m，使得数列{c_n}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

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