知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1-a_n=cos
nπ
3
，则a₂₀₁₆= ．

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2．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和S_n满足S₁＞1，且6Sn=
a
2
n
+3an+2（n∈N^*）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足bn=
an，n为偶数
2an，n为奇数
，T_n为数列{b_n}的前n项和，求T_n；
（3）设Cn=
bn+1
bn
，(n为正整数)，问是否存在正整数N，使得当任意正整数n＞N时恒有C_n＞2015成立？若存在，请求出正整数N的取值范围；若不存在，请说明理由．

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3．设数列{a_n}满足a₁=2，an+1=1-
1
an
，记数列前n项的积为P_n，则P₂₀₁₆的值为．

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4．设数列{a_n}的前n项和为S_n，d为常数，已知对∀n，m∈N^*，当n＞m，总有S_n-S_m=S_n-m+m（n-m）d成立
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）探究：命题p：“对∀n，m∈N^*，当n＞m时，总有S_n-S_m=S_n-m+m（n-m）d”是命题q：“数列{a_n}是等差数列”的充要条件吗？请证明你的结论；
（3）若正整数n，m，k成等差数列，比较S_n+S_k与2S_m的大小，并说明理由．

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5．已知数列{a_n}满足a_n+2=
an+2，n为奇数
2an，n为偶数
，．且n∈N^*，a₁=1，a₂=2．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_na_n+1，n∈N^*，求数列{b_n}的前2n项和S_2n；
（3）设c_n=a_2n-1a_2n+（-1）ⁿ，证明：
1
c1
+
1
c2
+
1
c3
+…+
1
cn
＜
5
4
．

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6．已知无穷数列{a_n}满足a_n+1=p•a_n+
q
an
（n∈N^*）．其中p，q均为非负实数且不同时为0．
（1）若p=
1
2
，q=2，且a₃=
41
20
，求a₁的值；
（2）若a₁=5，p•q=0，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）若a₁=2，q=1，且{a_n}是单调递减数列，求实数p的取值范围．

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7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3，且对任意的正整数n，都有S_n+1=λS_n+3ⁿ⁺¹，其中常数λ＞0．设b_n=
an
3n
（n∈N^*）﹒
（1）若λ=3，求数列{b_n}的通项公式；
（2）若λ≠1且λ≠3，设c_n=a_n+
2
λ-3
×3n（n∈N^*），证明数列{c_n}是等比数列；
（3）若对任意的正整数n，都有b_n≤3，求实数λ的取值范围．

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8．已知数列{a_n}满足a_n=
an+1-a-n-1
a-a-1
（n∈N^*），a≠-1，0，1，设b=a+
1
a
．
（1）求证：a_n+1=ba_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*）；
（2）当n（n∈N^*）为奇数时，a_n=
n-1
2
i=0
(-1)iC

i
n-1
b^n-2i，猜想当n（n∈N^*）为偶数时，a_n关于b的表达式，并用数学归纳法证明．

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9．已知f（x）=（a-ln x）x-1．
（I）不等式f（x）≤0对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）已知正项数列{a_n}满足a₁=e，a_n+1=
an-1
lnan
，求证：a_n＞e
1
2n
．

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10．已知各项均为正数的数列{a_n}满足：a_n+1=
an
2
+
1
2
（n∈N₊）．
（1）若（a₁-1）（a₂-2）＜0，求a₁的范围；
（2）设max{a，b}表示a、b两数中较大的数．试证明：对任意的n∈N₊，都有a_n≤max{1，a₁}．

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