知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．我们把一系列向量
ai
（i=1，2，…，n…）排成一列，称为向量列，记作{
an
}，又设
an
=（x_n，y_n），假设向量列{
an
}满足：
a1
=（
2
，
2
），
an
=
1
2
2
（
3
x_n-1-y_n-1，x_n-1+
3
y_n-1）（n≥2）．
（1）证明数列{|
an
|}是等比数列；
（2）设θ_n表示向量
an
，
an+1
（n∈N^*）间的夹角，若b_n=sin2nθ_n，记{b_n}的前n项和为S_n，求S_3m；
（3）设f（x）是R上不恒为零的函数，且对任意的a，b∈R，都有f（a•b）=af（b）+bf（a），若f（2）=2，u_n=
f(
|
an
|2
8
)
n
（n∈N^*），求数列{u_n}的前n项和T_n．

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2．设正项数列{a_n}的前n项和为S_n，向量
a
=（
Sn
，1），
b
=（a_n+1，2）（n∈N^*）满足
a
∥
b
．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的通项公式为b_n=
an
an+t
（t∈N^*），若b₁，b₂，b_m（m≥3，m∈N^*）成等差数列，求t和m的值；
（3）如果等比数列{c_n}满足c₁=a₁，公比q满足0＜q＜
1
2
，且对任意正整数k，c_k-（c_k+1+c_k+2）仍是该数列中的某一项，求公比q的取值范围．

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3．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，向量
AB
=（S_n，
1
4
-a_n），其中n∈N^*，
CD
=（1，-
1
2
），且满足
AB
∥
CD
．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在正整数M，使得当n＞M时，a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₇₈恒成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）若数列对任意的n∈N^*都有b₁a_n+b₂a_n-1+b₃a_n-2+…+b_n-1a₂+b_na₁=2ⁿ-
n
2
-1，求数列{b_n}的通项公式．

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4．已知边长为2的等边△ABC，O为△ABC的重心．有
OA1
=
1
2
（
OA
+
OB
），
OB1
=
1
2
（
OB
+
OC
），
OC1
=
1
2
（
OC
+
OA
），由A₁，B₁，C₁三点构成一个新的△A₁B₁C₁，面积记为S₁；
OA2
=
1
2
（
OA1
+
OB1
），
OB2
=
1
2
（
OB1
+
OC1
），
OC2
=
1
2
（
OC1
+
OA1
），再由A₂，B₂，C₂三点构成一个新的△A₂B₂C₂，面积记为S₂；
OA3
=
1
2
（
OA2
+
OB2
），
OB3
=
1
2
（
OB2
+
OC2
），
OC3
=
1
2
（
OC2
+
OA2
），再由A₃，B₃，C₃三点构成一个新的△A₃B₃C₃，面积记为S₃．按照上述规则依次作下去，作得第n个三角形为△A_nB_nC_n，面积记为S_n．
（1）求证：数列{S_n}为等比数列；
（2）令T_n=-S_nlog₄
Sn
3
，求S=T₁+T₂+T₃+…+T_n的和值．

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5．已知可由数列{a_n}构造一列向量：
βn
=（2a_n，a_n+1-2ⁿ⁺¹），n∈Z₊．又向量
m
=（1，3），
p
=（3a₁，7-a₂），且向量
m
与
p
垂直，以及向量
m
与
βn
平行（n∈Z₊）．
（1）试确定a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

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6．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若
OC
=a2
OA
+a2011
OB
，且满足条件
AC
=2
CB
，则S₂₀₁₂= ．

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7．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f（x）=
1
2
+log₂
x
1-x
图象上任意两点，且
OM
=
1
2
（
OA
+
OB
），已知点M的横坐标为
1
2
，且有S_n=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
），其中n∈N^*且n≥2，
（1）求点M的纵坐标值；
（2）求s₂，s₃，s₄及S_n；
（3）已知an=
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
，其中n∈N^*，且T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n≤λ（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，试求λ的最小正整数值．

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8．已知{a_n}是等差数列，S_n为其前n项和，若S₂₁=S₄₀₀₀，O为坐标原点，点P（1，a₁），点Q（2011，a₂₀₁₁），则

•

的值为（　　）

A．2011

B．-2011

D．1

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9．在平面直角坐标系中，已知三个点列{A_n}，{B_n}，{C_n}，其中A_n（n，a_n），B_n（n，b_n），C_n（n-1，0），满足向量
AnAn+1
与向量
BnCn
平行，并且点列{B_n}在斜率为6的同一直线上，n=1，2，3，…．
（1）证明：数列{b_n}是等差数列；
（2）试用a₁，b₁与n表示a_n（n≥2）；
（3）设a₁=a，b₁=-a，是否存在这样的实数a，使得在a₆与a₇两项中至少有一项是数列{a_n}的最小项？若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由；
（4）若a₁=b₁=3，对于区间[0，1]上的任意λ，总存在不小于2的自然数k，当n≥k时，a_n≥（1-λ）（9n-6）恒成立，求k的最小值．

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10．已知函数y=f（x）满足
a
=(x2，y)，
b
=(x-
1
x
，-1)，且
a
•
b
=-1．如果存在正项数列{a_n}满足：a1=
1
2
，
n
i=1
f(ai)-n=
n
i=1
ai3-n2an(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）证明：
n
i=1
ai
i
＜3．

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