知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．我们把一系列向量
ai
（i=1，2，3，…，n）按次序排成一列，称之为向量列，记作{
an
}，已知向量列{
an
}满足：
a1
=（1，1），
an
=（x_n，y_n）=
1
2
（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1）（n≥2）．
（1）证明：数列{|
an
|}是等比数列；
（2）设θ_n表示向量
an
与
an-1
间的夹角，若b_n=
n2
π
θ_n，对于任意正整数n，不等式
1
bn+1
+
1
bn+2
+…+
1
b2n
＞a（a+2）恒成立，求实数a的范围
（3）设c_n=|
an
|•log₂|
an
|，问数列{c_n}中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．

难度：较难

解析收藏试题篮
2．如图，已知OPQ是半径为
7
圆心角为
π
3
的扇形，C是该扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠BOC为α．
（Ⅰ）若Rt△CBO的周长为
7
(2
10
+5)
5
，求
3-cos2α
cos2α-sinαcosα
的值．
（Ⅱ）求
OA
•
AB
的最大值，并求此时α的值．

难度：较难

解析收藏试题篮
3．已知向量
a
=（cos
3x
2
，sin
3x
2
），
b
=（cos
x
2
，-sin
x
2
），且x∈[0，
π
2
]．
（1）求
a
•
b
及|
a
+
b
|；
（2）若f（x）=
a
•
b
-2λ|
a
+
b
|的最小值是-2，求λ的值．

难度：较难

解析收藏试题篮
4．下列命题中：
（1）如果非零向量
a
与
b
的方向相同或相反，那么
a
+
b
的方向必与
a
、
b
之一的方向相同；
（2）如果
a
、
b
均为非零向量，则|
a
+
b
|与|
a
|+|
b
|一定相等；
（3）x=2时，向量
a
=（x，1），
b
=（4，x）共线且方向相同；
（4）
a
≠
0
，
a
•
b
=
a
•
c
，则
b
=
c

其中假命题是．

难度：较难

解析收藏试题篮
5．已知
e
1，
e
2是空间单位向量，
e
1•
e
2=
1
2
，若空间向量
b
满足
b
•
e
1=2，
b
•
e
2=
5
2
，且对于任意x，y∈R，|
b
-(x
e1
+y
e2
)|≥|
b
-(x0
e1
+y0
e2
)|=1(x0，y0∈R)，则x₀= ，y₀= ，|
b
|= ．

难度：较难

解析收藏试题篮
6．已知圆M：x²+（y-1）²=1，圆N：x²+（y+1）²=1，直线l₁，l₂分别过圆心M，N，且l₁与圆M相交于A，B，l₂与圆N相交于C，D，P是椭圆
x2
3
+
y2
4
=1上的任意一动点，则
PA
•
PB
+
PC
•
PD
的最小值为．

难度：较难

解析收藏试题篮
7．如图，已知扇形周长2+
2
3
π，面积为
π
3
，且|
OA
+
OB
|=1．
（1）求∠AOB的大小；
（2）如图所示，当点C在以O为圆心的圆弧
AB
上变动．若
OC
=x
OA
+y
OB
，其中x、y∈R，求xy的最大值与最小值的和；
（3）若点C、D在以O为圆心的圆上，且
OC
=
DO
．问
BC
与
AD
的夹角θ取何值时，
BC
•
AD
的值最大？并求出这个最大值．

难度：较难

解析收藏试题篮
8．在平面直角坐标系中，已知向量
a
=（x，y-2），
b
=（kx，y+
2
）（k∈R），
a
⊥
b
，动点M（x，y）的轨迹为T．求轨迹T的方程，并说明该方程表示的曲线的形状．

难度：较难

解析收藏试题篮
9．下列四个语句中，有一个语句是错误的，这个错误的语句序号为．
①若
a
-
b
=
0
，则
a
=
b

②若
a
•
b
=0，则
a
=
0
或
b
=
0

③若k∈R，k
a
=
0
，则k=0或
a
=
0
．

难度：较难

解析收藏试题篮
10．已知向量
a
=（cos
3x
2
．-sin
3x
2
），
b
=（cos
x
2
，sin
x
2
）
（1）设函数f（x）=
a
•
b
，求f（x）的单调递增区间；
（2）设函数g（x）=
a
•
b
-2λ|
a
+
b
|，若g（x）的最小值是-
3
2
，求实数λ的值．

难度：较难

解析收藏试题篮

0/40

进入组卷