知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．自平面上一点O引两条射线OA，OB，P在OA上运动，Q在OB上运动且保持|
PQ
|为定值2
2
（P，Q不与O重合）．已知∠AOB=120°，
（1）PQ的中点M的轨迹是的一部分（不需写具体方程）；
（2）N是线段PQ上任-点，若|OM|=1，则
OM
•
ON
的取值范围是．

难度：较难

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2．已知A（x₀，0），B（0，y₀）两点分别在x轴和y轴上运动，且|AB|=1，若动点P（x，y）满足
OP
=2
OA
+
3
OB
．
（I）求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；
（Ⅱ）一条纵截距为2的直线l₁与曲线C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程；
（Ⅲ）直线l₂：x=ty+1与曲线C交于A、B两点，E（1，0），试问：当t变化时，是否存在一直线l₂，使△ABE的面积为2
3
？若存在，求出直线l₂的方程；若不存在，说明理由．

难度：较难

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3．在平面直角坐标系中，已知A（-1，0），B（1，0），动点P（x，y）满足|PA|=a|PB（a＞0
）．
（1）试讨论动点P的轨迹C；
（2）当a=
2
时，直线y=x+b与轨迹C交于两点M，N，若以线段MN为直径的圆恰好过坐标原点O，求b的值．

难度：较难

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4．已知A，B，C三点的坐标分别是A(3，0)，B(0，3)，C(cosα，sinα)，α∈(
π
2
，
3π
2
)，若
AC
•
BC
=-1，则
1+tanα
2sin2α+sin2α
= ．

难度：较难

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5．如图，已知A（1，1），B（5，4），C（2，5），设向量
a
是与向量
AB
垂直的单位向量．
（1）求单位向量
a
的坐标；
（2）求向量
AC
在向量
a
上的投影；
（3）求△ABC的面积S_△ABC．

难度：较难

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6．设平面内的向量
OA
=(-1，-3)，
OB
=(5，3)，
OM
=(2，2)，点P在直线OM上，且
PA
•
PB
=-16．
（1）求
OP
的坐标；
（2）求∠APB的余弦值；
（3）设t∈R，求|
OA
+t
OP
|的最小值．

难度：较难

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7．已知向量
a
、
b
、
c
，满足|
a
|=
10
，|
b
|=
5
，
a
•
b
=-5，
c
=x
a
+（1-x）
b
．
（1）当
b
⊥
c
时，求实数x的值；
（2）当|
c
|取最小值时，求向量
a
与
c
的夹角的余弦值．

难度：较难

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8．（2015秋•内蒙古月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是
AC
的中点，BD交AC于点E．
（1）求证：AD=
DE•DB
；
（2）若CD=2
6
，点O到AC的距离为1，求⊙O的半径r．

难度：较难

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9．已知向量

，

满足

•

=1，则|

|的最小值为（　　）

A．2

B．4

C．

D．16

难度：较难

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10．在直角坐标系xOy中，动点M到F₁（-
3
，0）、F₂（
3
，0）的距离之和是4．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）设过点P（3，0）的直线l与轨迹C交于点A、B，问是否存在定点Q，使得
QA
•
QB
为定值？若存在，求出点Q的坐标及这个定值；若不存在，说明理由．

难度：较难

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