知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设△ABC的三个内角为A、B、C，向量
m
=(
3
sinA，sinB)，
n
=(cosB，
3
cosA)，若
m
•
n
=1+cos(A+B)，则C= ．

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2．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，且AC=2，则
AB
•
AC
的最大值．

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3．（文）已知函数f（x）的定义域为{1，2，3}，值域为集合{1，2，3，4}的非空真子集，设点A（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3，f（3）），且（
BA
+
BC
）•
AC
=0，则满足条件的函数f（x）有个．

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4．已知两定点M（4，0），N（1，0），动点P满足|
PM
|=2|
PN
|．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若点G（a，0）是轨迹C内部一点，过点G的直线l交轨迹C于A、B两点，令f(a)=
GA
•
GB
，求f（a）的取值范围．

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5．如图，过抛物线C：x²=4y的对称轴上一点P（0，m）（m＞0）作直线l与抛物线交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，点Q是P关于原点的对称．
（1）求证：x₁x₂=-4m；
（2）设P分有向线段
AB
所成的比为λ，若
QP
⊥(
QA
-μ
QB
)，求证：λ=μ．

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6．如图，在四边形ABCD中，
AD
=λ
BC
（λ＞0），|
AB
|=|
AD
|=2，|
CB
-
CD
|=2
3
，且△BCD是以BC为斜边的直角三角形．
（Ⅰ）求λ的值；
（Ⅱ）求
BC
•
CD
的值．

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7．已知点Q（x，y）位于直线x=-3右侧，且到点F（-1，0）与到直线x=-3的距离之和等于4．
（1）求动点Q（x，y）的坐标之间满足的关系式，并化简且指出横坐标x的范围；
（2）设（1）中的关系式表示的曲线为C，若直线l过点M（1，0）且交曲线C于不同的两点A、B，
①求直线l的斜率的取值范围；
②若点P满足
FP
=
1
2
(
FA
+
FB
)，且
EP
.
AB
=0，其中点E的坐标为（x₀，0）试求x₀的取值范围．

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8．已知单位圆上两点P、Q关于直线y=x对称，且射线OP为终边的角的大小为x．另有两点M（a，-a）、N（-a，a），且f（x）=
MP
•
NQ
．
（1）当x=
π
12
时，求
PQ
的长及扇形OPQ的面积；
（2）当点P在上半圆上运动时，求函数f（x）的表达式；
（3）若函数f（x）最大值为g（a），求g（a）．

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9．已知直线l：y=mx+1与曲线C：ax²+y²=2（m，a∈R）交于A、B两点．
（1）当m=0时，有∠AOB=
π
3
，求曲线P的方程；
（2）是否存在常数M，使得对于任意的a∈（0，1），m∈R，都有
OA
•
OB
＜M恒成立？如果存在，求出的M得最小值；如果不存在，说明理由．

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10．已知圆锥曲线C：
x2
16
+
y2
t2-2t
=1（t≠0且t≠2），其两个不同的焦点F₁、F₂同在x轴上．
（1）试根据t不同的取值范围来讨论C所表示的圆锥曲线；
（2）试在曲线C上求满足
PF1
•
PF2
=0的点P的个数，并求出相应的t的取值范围．

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