知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知数列\(\{x_{n}\}\)满足\({{x}_{1}}=\dfrac{{1}}{{2}}\)，\({{x}_{n+1}}=\dfrac{{1}}{{1}+{{x}_{n}}}\)，\(n∈N^{*}\)．

\((1)\)猜想数列\(\{x_{2n}\}\)的单调性，并证明你的结论：

\((2)\)证明：\(|{{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}|\leqslant \dfrac{1}{6}{{\left( \dfrac{2}{5} \right)}^{n-1}}\)．

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2．
阅读下面材料：

根据两角和与差的正弦公式，有

\(\sin (α+β)=\sin α\cos β+\cos α\sin β\)，\(①\)

\(\sin (α-β)=\sin α\cos β+\cos α\sin β\)，\(②\)

由\(①+②\)得\(\sin (α+β)+\sin (α-β)=2\sin α\cos β\)，\(③\)

令\(α+β=A\)，\(α-β=B\)，有\(\alpha =\dfrac{A+B}{2}\)，\(\beta =\dfrac{A-B}{2}\)，

代入\(③\)得\(\sin A+\sin B=2\sin \dfrac{A+B}{2}\cos \dfrac{A-B}{2}\)．

\((1)\)类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：\(\cos A-\cos B=-2\sin \dfrac{A+B}{2}\sin \dfrac{A-B}{2}\)；

\((2)\)若\(\triangle ABC\)的三个内角\(A\)，\(B\)，\(C\)满足\(\cos 2A-\cos 2B=1-\cos 2C\)，试判断\(\triangle ABC\)的形状．

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3．
蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图\(.\)其中第一个图有\(1\)个蜂巢，第二个图有\(7\)个蜂巢，第三个图有\(19\)个蜂巢，按此规律，以\(f(n)\)表示第\(n\)个图的蜂巢总数．
\((1)\)试给出\(f(4)\)，\(f(5)\)的值；
\((2)\)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出\(f(n+1)\)与\(f(n)\)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出\(f(n)\)的表达式；
\((3)\)证明：\( \dfrac {1}{f(1)}+ \dfrac {1}{f(2)}+ \dfrac {1}{f(3)}+…+ \dfrac {1}{f(n)} < \dfrac {4}{3}\)．

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4．设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s（m，n）为所有这样的数表构成的集合．对于A∈S（m，n），记r_i（A）为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），C_j（A）为A的第j列各数之和（1≤j≤n）；记K（A）为|r₁（A）|，|R₂（A）|，…，|Rm（A）|，|C₁（A）|，|C₂（A）|，…，|Cn（A）|中的最小值．
（1）如表A，求K（A）的值；
1 1 -0.8
0.1 -0.3 -1
（2）设数表A∈S（2，3）形如
1 1 c
a b -1
求K（A）的最大值；
（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2，2t+1），求K（A）的最大值．

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5．一个正三角形等分成4个全等的小正三角形，将中间的一个正三角形挖掉（如图1），再将剩余的每个正三角形分成4个全等的小正三角形，并将中间的一个正三角形挖掉，得图2，如此继续下去…
（1）图3共挖掉多少个正三角形？
（2）设原正三角形边长为a，第n个图形共挖掉多少个正三角形？这些正三角形面积和为多少？

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6．
设\(A\)是由\(m×n\)个实数组成的\(m\)行\(n\)列的数表，满足：每个数的绝对值不大于\(1\)，且所有数的和为零，记\(s(m,n)\)为所有这样的数表构成的集合\(.\)对于\(A∈S(m,n)\)，记\(r_{i}(A)\)为\(A\)的第\(ⅰ\)行各数之和\((1\leqslant ⅰ\leqslant m)\)，\(C_{j}(A)\)为\(A\)的第\(j\)列各数之和\((1\leqslant j\leqslant n)\)；记\(K(A)\)为\(|r_{1}(A)|\)，\(|R_{2}(A)|\)，\(…\)，\(|Rm(A)|\)，\(|C_{1}(A)|\)，\(|C_{2}(A)|\)，\(…\)，\(|Cn(A)|\)中的最小值．
\((1)\)如表\(A\)，求\(K(A)\)的值；

\(1\) \(1\) \(-0.8\)

\(0.1\) \(-0.3\) \(-1\)

\((2)\)设数表\(A∈S(2,3)\)形如

\(1\) \(1\) \(c\)

\(a\) \(b\) \(-1\)

求\(K(A)\)的最大值；
\((3)\)给定正整数\(t\)，对于所有的\(A∈S(2,2t+1)\)，求\(K(A)\)的最大值．

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7．
设\(f(x)= \dfrac {1}{4^{x}+2}\)，先分别求\(f(0)+f(1)\)，\(f(-1)+f(2)\)，\(f(-2)+f(3)\)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．

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8．
已知\(f(x)= \dfrac {ax}{a+x}(x\neq -a)\)，且\(f(2)=1\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(a\)的值；
\((\)Ⅱ\()\)若在数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=f(a_{n}),(n∈N^{*})\)，计算\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)，并由此猜想通项公式\(a_{n}\)；
\((\)Ⅲ\()\)证明\((\)Ⅱ\()\)中的猜想．

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9．

若\({{a}_{1}} > 0,{{a}_{1}}\ne 1,{{a}_{n+1}}=\dfrac{2{{a}_{n}}}{1+{{a}_{n}}}(n=1,2,\ldots )\)

\(①\)求证：\({{a}_{n+1}}\ne {{a}_{n}}\)

\(②\)令\({a}_{1}= \dfrac{1}{2},写出{a}_{2},{a}_{3},{a}_{4} \)的值并归纳出通项公式

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10．对于数列{x_n}，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列．某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为a₁，公差为d的无穷等差数列{a_n}的子数列问题，为此，他取了其中第一项a₁，第三项a₃和第五项a₅．
（1）若a₁，a₃，a₅成等比数列，求d的值；
（2）在a₁=1，d=3 的无穷等差数列{a_n}中，是否存在无穷子数列{b_n}，使得数列（b_n）为等比数列？若存在，请给出数列{b_n}的通项公式并证明；若不存在，说明理由；
（3）他在研究过程中猜想了一个命题：“对于首项为正整数a，公比为正整数q（q＞1）的无穷等比数列{c_n}，总可以找到一个子数列{b_n}，使得{d_n}构成等差数列”．于是，他在数列{c_n}中任取三项c_k，c_m，c_n（k＜m＜n），由c_k+c_n与2c_m的大小关系去判断该命题是否正确．他将得到什么结论？

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