知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=
3
sinxcosx+sin²x-
1
2
．
（1）求f（x）的最小正周期及其对称轴方程；
（2）设函数g（x）=f（
ωx+φ
2
+
π
12
），其中常数ω＞0，|φ|＜
π
2
．
（i）当ω=4，φ=
π
6
时，函数y=g（x）-4λf（x）在[
π
12
，
π
3
]上的最大值为
3
2
，求λ的值；
（ii）若函数g（x）的一个单调减区间内有一个零点-
2π
3
，且其图象过点A（
7π
3
，1），记函数g（x）的最小正周期为T，试求T取最大值时函数g（x）的解析式．

难度：较难

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2．如图所示，长方形ABCD中，AB=2，BC=4，以D为圆心的两个圆心半圆，半径分别为1和2，G为大半圆直径的右端点，E为大半圆上的一个动点，DE与小半圆交于点F，EM⊥BC，垂足为M，EM与大半圆直径交于点H，FN⊥EM，垂足为N．
（Ⅰ）设∠GDE=30°，求MN的长度；
（Ⅱ）求△BMN的面积的最大值．

难度：较难

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3．已知函数f（x）=asinx-bcosx（a，b常数，a≠0，x∈R）在x=

3π

处取得最小值，则函数y=f（

-x）是（　　）

A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称

B．偶函数且它的图象关于点（

3π

，0）对称

C．奇函数且它的图象关于点（

3π

，0）对称

D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称

难度：较难

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4．已知函数f（x）=4sin²（
π
4
+
x
2
）•sinx+（cosx+sinx）（cosx-sinx）-1．
（1）化简f（x）；
（2）常数ω＞0，若函数y=f（ωx）在区间[-
π
2
，
2π
3
]上是增函数，求ω的取值范围；
（3）若函数g（x）=
1
2
[f(2x)+af(x)-af(
π
2
-x)-a]-1在[-
π
4
，
π
2
]的最大值为2，求实数a的值．

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5．已知函数f（x）=2sin²x+sin2x-1，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）f（x）的最大值及取得最大值时x的集合；
（3）求f（x）的单调递减区间．

难度：较难

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6．已知
a
=（
3
2
，cos2x），
b
=（sin2x，
1
2
）函数f（x）=
a
•
b
+
3
2
．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？

难度：较难

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7．如图，已知扇形AOB是半径为2，圆心角为
π
6
的装饰材料，点P是弧AB上的动点，△PQR为扇形的内接三角形，且PQ∥OA，某设计师计划在该扇形装饰材料上彩绘，并以△PQR为主题着色板，记∠POA=θ．
（Ⅰ）将主题着色板的面积S表示为θ的函数；
（Ⅱ）当角θ取何值时，主题着色板的面积S最大？并求出这个最大值．

难度：较难

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8．已知OPQ是半径为1，圆心角为
π
4
的扇形，C是扇形弧上的动点．ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP=θ．
（1）求当角θ取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大值．
（2）当矩形ABCD的面积为
6
-2
4
时，求角θ的值．

难度：较难

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9．设
a
=(sin2
π+2x
4
，cosx+sinx)，
b
=(4sinx，cosx-sinx)，f(x)=
a
•
b
．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知常数ω＞0，若y=f（ωx）在区间[-
π
2
，
2π
3
]上是增函数，求ω的取值范围．

难度：较难

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10．设 A、B、C是直线l上的三点，向量
OA
，
OB
，
OC
满足关系：
OA
+(y-
3
sinxcosx)
OB
-(
1
2
+sin2x)
OC
=
0
．
（Ⅰ）化简函数y=f（x）的表达式；
（Ⅱ）若函数g(x)=f(
1
2
x+
π
3
)，x∈[0，
7π
12
]的图象与直线y=b的交点的横坐标成等差数列，试求实数b的值；
（Ⅲ）令函数h（x）=
2
（sinx+cosx）+sin2x-a，若对任意的x1，x2∈[0，
π
2
]，不等式h（x₁）≤f（x₂）恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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