知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形$.$此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形$ABC$的斜边$BC$，直角边$AB$，$AC.\triangle ABC$的三边所围成的区域记为$I$，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ$.$在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为$p_{1}$，$p_{2}$，$p_{3}$，则$($　　$)$

A．$p_{1}=p_{2}$

B．$p_{1}=p_{3}$

C．$p_{2}=p_{3}$

D．$p_{1}=p_{2}+p_{3}$

难度：较难

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2．

在区间$[1,5]$随机地取一个数$m$，则方程$m^{2}x^{2}+4y^{2}=1$表示焦点在$y$轴上的椭圆的概率是$($　　$)$

A．$ \dfrac {3}{5}$

B．$ \dfrac {1}{5}$

C．$ \dfrac {1}{4}$

D．$ \dfrac {3}{4}$

难度：较难

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3．

在边长为$a$的正三角形内任取一点$P$，则点$P$到三个顶点的距离均大于$ \dfrac {a}{2}$的概率是$($　　$)$

A．$ \dfrac {11}{12}- \dfrac { \sqrt {3}}{6}π$

B．$1- \dfrac { \sqrt {3}}{6}π$

C．$ \dfrac {1}{3}$

D．$ \dfrac {1}{4}$

难度：较难

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4．
平面上画了一些彼此相距$20cm$的平行线，把一枚半径为$4cm$的硬币任意掷在这平面上，则硬币与任一条平行线相碰的概率为 ______ ．

难度：较难

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5．

在区间$[0, \dfrac {π}{2}]$上任选两个数$x$和$y$，则$y < \sin x$的概率为$($　　$)$

A．$ \dfrac {2}{\pi ^{2}}$

B．$1- \dfrac {4}{\pi ^{2}}$

C．$ \dfrac {4}{\pi ^{2}}$

D．$1- \dfrac {2}{\pi ^{2}}$

难度：较难

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6．

如图，已知正方形的边长为$10$，向正方形内随机地撒$200$颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为$114$颗，以此实验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为$($　　$)$

A．$53$

B．$43$

C．$47$

D．$57$

难度：较难

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7．

在区间$[1,5]$上任取一个数，则此数不大于$3$的概率是$($　　$)$

A．$ \dfrac {3}{5}$

B．$ \dfrac {2}{5}$

C．$ \dfrac {1}{2}$

D．$ \dfrac {1}{3}$

难度：较难

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8．

某市小型机动车驾照“科二”考试中共有$5$项考查项目，分别记作$①$，$②$，$③$，$④$，$⑤$．

项目学员编号	$①$	$②$	$③$	$④$	$⑤$
$(1)$	$T$	$T$		$T$
$(2)$	$T$		$T$	$T$
$(3)$	$T$	$T$	$T$		$T$
$(4)$	$T$		$T$		$T$
$(5)$	$T$	$T$	$T$	$T$
$(6)$	$T$	$T$			$T$
$(7)$		$T$	$T$	$T$	$T$
$(8)$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$(9)$		$T$	$T$	$T$
$(10)$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
注“$T$”表示合格，空白表示不合格

$(1)$某教练将所带$10$名学员的“科二”模拟考试成绩进行统计$($如表所示$)$，并打算从恰有$2$项成绩不合格的学员中任意抽出$2$人进行补测$($只测不合格的项目$)$，求补测项目种类不超过$3$项的概率；
$(2)$如图，某次模拟演练中，教练要求学员甲倒车并转向$90^{\circ}$，在汽车边缘不压射线$AC$与射线$BD$的前提下，将汽车驶入指定的停车位$.$根据经验，学员甲转向$90^{\circ}$后可使车尾边缘完全落在线段$CD$上，且位于$CD$内各处的机会相等$.$若$CA=BD=0.3m$，$AB=2.4m$，汽车宽度为$1.8m$，求学员甲能按教练要求完成任务的概率．

难度：较难

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9．已知平面区域Ω={（x，y）| $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20y%E2%89%A4x%2B1%20%5C%5C%20y%E2%89%A50%20%5C%5C%20x%E2%89%A41%5Cend%7Bcases%7D$ }，M={（x，y）| $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20y%E2%89%A4-%7Cx%7C%2B1%20%5C%5C%20y%E2%89%A50%5Cend%7Bcases%7D$ }，向区域Ω内随机投一点P，点P落在区域M内的概率为（　　）

A． $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$

B． $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$

C． $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$

D． $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B3%7D$

难度：较难

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10．空气质量按照空气质量指数大小分为七档（五级），相对应空气质量的七个类别，指数越大，说明污染的情况越严重，对人体危害越大．

指数	级别	类别	户外活动建议
0～50	Ⅰ	优	可正常活动
51～100	Ⅱ	良	可正常活动
101～150	Ⅲ	轻微污染	易感人群症状有轻度加剧，健康人群出现刺激症状，心脏病和呼吸系统疾病患者应减少体积消耗和户外活动．
151～200	Ⅲ	轻度污染	易感人群症状有轻度加剧，健康人群出现刺激症状，心脏病和呼吸系统疾病患者应减少体积消耗和户外活动．
201～250	Ⅳ	中度污染	心脏病和肺病患者症状显著加剧，运动耐受力降低，健康人群中普遍出现症状，老年人和心脏病、肺病患者应减少体力活动．
251～300	Ⅳ	中度重污染	心脏病和肺病患者症状显著加剧，运动耐受力降低，健康人群中普遍出现症状，老年人和心脏病、肺病患者应减少体力活动．
301～500	Ⅴ	重污染	健康人运动耐受力降低，由明显强烈症状，提前出现某些疾病，老年人和病人应当留在室内，避免体力消耗，一般人群应尽量减少户外活动．

现统计邵阳市市区2016年10月至11月连续60天的空气质量指数，制成如图所示的频率分布直方图．

（1）求这60天中属轻度污染的天数；
（2）求这60天空气质量指数的平均值；
（3）将频率分布直方图中的五组从左到右依次命名为第一组，第二组，…，第五组．从第一组和第五组中的所有天数中抽出两天，记它们的空气质量指数分别为x，y，求事件|x-y|≤150的概率．

难度：较难

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项目学员编号	\(①\)	\(②\)	\(③\)	\(④\)	\(⑤\)
\((1)\)	\(T\)	\(T\)		\(T\)
\((2)\)	\(T\)		\(T\)	\(T\)
\((3)\)	\(T\)	\(T\)	\(T\)		\(T\)
\((4)\)	\(T\)		\(T\)		\(T\)
\((5)\)	\(T\)	\(T\)	\(T\)	\(T\)
\((6)\)	\(T\)	\(T\)			\(T\)
\((7)\)		\(T\)	\(T\)	\(T\)	\(T\)
\((8)\)	\(T\)	\(T\)	\(T\)	\(T\)	\(T\)
\((9)\)		\(T\)	\(T\)	\(T\)
\((10)\)	\(T\)	\(T\)	\(T\)	\(T\)	\(T\)
注“\(T\)”表示合格，空白表示不合格