知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知下表是月份${{x}_{{}}}$与$y$用电量$($单位：万度$)$之间的一组数据：

$(1)$画出散点图；

$(2)$如果$y$对${{x}_{{}}}$有线性相关关系，求回归方程；$($参考公式：$\widehat{b}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}-n\overline{x}\overline{y}}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}-n{{(\overline{x})}^{2}}}$，$\hat{a}=\overline{y}-\widehat{b}\overline{x})$

$(3)$预测$12$月份的用电量．

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2．最小二乘法的原理是（　　）

A．使得 $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D$ [y_i-（a+bx_i）]最小

B．使得 $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D$ [y_i-（a+bx_i）²]最小

C．使得 $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D$ [y_i²-（a+bx_i）²]最小

D．使得 $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D$ [y_i-（a+bx_i）]²最小

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3．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x_i，y_i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为
̂
y
=0.85x-85.71，给定下列结论：
①y与x具有正的线性相关关系；
②回归直线过样本点的中心（
.
x
，
.
y
）；
③若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg；
④若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg．
其中正确的结论是．

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4．下列说法正确的是
①用最小二乘法求的线性回归直线
∧
y
=bx+a必过点（
.
x
，
.
y
）
②一批产品共50件，其中5件次品，其余均为合格品，现从中任取2件，则其中出现次品的概率为
C
1
5
C
1
49
C
2
50

③两人独立地解决同一个问题，甲解决这个问题的概率为P₁，乙解决这个问题的概率为P₂，两人同时解决的概率为P₃，则这个问题得到解决的概率等于P₁+P₂-P₃，也等于1-（1-P₁）（1-P₂）
④已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ²），P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤0）=0.16
⑤对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若
OP
=x
OA
+y
OB
+z
OC
（x，y，z∈R），则P、A、B、C四点共面的充要条件是x+y+z=1．

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5．我国近年利用“太空育种”不断培育新品种，已知培育的前4代的水果单个重量分别为是173g、170g、176g和182g．因子代的重量与父代的重量有关，请你用线性回归分析的方法预测第5代水果单个重量为 g．（提示：对于一组具有线性相关关系的数据（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），我们知道其回归方程y=a+bx的最小二乘估计公式分别为：a=y-bx，…（1）b=
n
i=1
(xi-
.
x
)(yi-
.
y
)
n
i=1
(xi-
.
x
)2
=
n
i=1
xiyi-n
.
x
.
y
n
i=1
x
2
i
n-
-2
x
，…（2）其中
.
x
=
1
n
n
i=1
xi，
.
y
=
1
n
n
i=1
y_i．）

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6．某种产品的广告支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下的对应关系：

x 2 4 5 6 8

y 30 40 60 50 70
（1）假定y与x之间具有线性相关关系，求回归直线方程；
（2）若实际销售额不少于60百万元，则广告支出应该不少于多少？（结果保留两位小数）
（注：
̂
b
=
n
i=1
xiyi-n
.
x
.
y
n
i=1
x
2
i
-n
.
x
2
，a=
.
y
-
̂
b
.
x
）

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7．已知一组样本点（x_i，y_i）其中i=1，2，3，…，30根据最小二乘法求得的回归方程是

=bx+a则下列说法正确的是（　　）

A．若所有样本点都在

=bx+a上，则变量间的相关系数为1

B．至少有一个样本点落在回归直线

=bx+a上

C．对所有的预报变量 x_i（i=1，2，3，…，30），bx_i+a的值一定与y_i有误差

D．若

=bx+a斜率b＞0则变量x与y正相关

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8．供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程为．

x 3 4 5 6

y 2.5 3 4 4.5

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9．最小二乘法是指通过求函数Q（a，b）的最小值而得出回归直线的方法．其中函数Q（a，b）是指（　　）

A．（y₁-bx₁-a）²

B．|y_i-bx_i-a|

C．

i=1

(yi-bxi-a)2

D．

i=1

|yi-bxi-a|

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10．统计中常用相关系数，一来衡量两个变量x、y之间线性相关关系的强弱，其计算公式是r=
n
i=1
(xi-
.
x
)(yi-
.
y
)
n
i=1
(xi-
.
x
)2
n
i=1
(yi-
.
y
)2
其中（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n）是散点图中的样本点，
.
x
=
1
n
n
i=1
xi，
.
y
=
1
n
n
i=1
yi试证明：r=
n
i=1
xiyi-n
.
x
.
y
[
n
i=1
xi2-n
.
x
2][
n
i=1
yi2-n
.
y
2]
．

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