知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在一次“综艺类和体育类节目，哪一类节目受中学生欢迎”的调查中，随机调查了男女各100名学生，其中女同学中有73人更爱看综艺类节目，另外27人更爱看体育类节目；男同学中有42人更爱看综艺类节目，另外58人更爱看体育类节目．
（1）根据以上数据填好如下2×2列联表：

综艺类体育类总计

女

男

总计

（2）试判断是否有99.9%的把握认为“中学生更爱看综艺类节目还是体育类节目与性别有关”．
参考公式： $K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$
临界值表：

P（K²≥k₀） 0.025 0.01 0.005 0.001

k₀ 5.024 6.635 7.879 10.828

难度：较难

解析收藏试题篮
2． “中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：

男性女性总计

反感 10

不反感 8

总计 30

已知从这30人中随机抽取1人，抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是 $%20%5Cfrac%20%7B8%7D%7B15%7D$ ．将上面的列联表补充完整，并据此分析能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为对“中国式过马路”的态度与性别有关．

难度：较难

解析收藏试题篮
3．某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示：

等级不合格合格

得分 [20，40） [40，60） [60，80） [80，100）

频数 6 x 24 y

（Ⅰ）若测试的同学中，分数段[20，40）、[40，60）、[60，80）、[80，100]内女生的人数分别为2人、8人、16人、4人，完成2×2列联表，并判断：是否有90%以上的把握认为性别与安全意识有关？
（Ⅱ）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取10人进行座谈，现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为X，求X的分布列及数学期望E（X）；
（Ⅲ）某评估机构以指标M（ $M%3D%20%5Cfrac%20%7BE%28X%29%7D%7BD%28X%29%7D$ ，其中D（X）表示X的方差）来评估该校安全教育活动的成效，若M≥0.7，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案．在（Ⅱ）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？
附表及公式： $K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D%EF%BC%8C%5Ctext%7B%E5%85%B6%E4%B8%AD%7Dn%3Da%2Bb%2Bc%2Bd$ ．

P（K²≥k₀） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010

k₀ 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635

是否合格
性别
不合格
合格
总计

男生

女生

总计

难度：较难

解析收藏试题篮
4．随着节能减排意识深入人心以及共享单车在饶城的大范围推广，越来越多的市民在出行时喜欢选择骑行共享单车．为了研究广大市民在共享单车上的使用情况，某公司在我市随机抽取了100名用户进行调查，得到如下数据：

每周使用次数 1次 2次 3次 4次 5次 6次及以上

男 4 3 3 7 8 30

女 6 5 4 4 6 20

合计 10 8 7 11 14 50

（1）如果认为每周使用超过3次的用户为“喜欢骑行共享单车”，请完成2×2列表（见答题卡），并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关？
（2）每周骑行共享单车6次及6次以上的用户称为“骑行达人”，视频率为概率，在我市所有“骑行达人”中，随机抽取4名用户．
①求抽取的4名用户中，既有男生“骑行达人”又有女“骑行达人”的概率；
②为了鼓励女性用户使用共享单车，对抽出的女“骑行达人”每人奖励500元，记奖励总金额为X，求X的分布列及数学期望．
附表及公式： $K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$

0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

难度：较难

解析收藏试题篮

5．

某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量（单位：毫克），质量值落在（175，225]的产品为合格品，否则为不合格品．如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图．

产品质量/毫克	频数
（165，175]	3
（175，185]	9
（185，195]	19
（195，205]	35
（205，215]	22
（215，225]	7
（225，235]	5

（Ⅰ）由以上统计数据完成下面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关？

	甲流水线	乙流水线	总计
合格品
不合格品
总计

附表：

P（K²＞k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式： $K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%28c%2Bd%29%7D%EF%BC%8Cn%3Da%2Bb%2Bc%2Bd$ ）
（Ⅱ）由乙流水线的频率分布直方图可以认为乙流水线生产的产品质量指标z服从正态分布N（200，12.2²），求质量指标z落在（187.8，224.4）上的概率；
参考公式：P（μ-σ＜z＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜z＜μ+2σ）=0.9544．
（Ⅲ）若以频率作为概率，从甲流水线任取2件产品，求至少有一件产品是合格品的概率．

难度：较难

解析收藏试题篮

6．目前，浙江和上海已经成为新高考综合试点的“排头兵”，有关其它省份新高考改革的实施安排，教育部部长在十九大上做出明确表态：到2020年，我国将全面建立起新的高考制度．新高考规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．
某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如表：

性别	选考方案确定情况	物理	化学	生物	历史	地理	政治
男生	选考方案确定的有16人	16	16	8	4	2	2
男生	选考方案待确定的有12人	8	6	0	2	0	0
女生	选考方案确定的有20人	6	10	20	16	2	6
女生	选考方案待确定的有12人	2	8	10	0	0	2

（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？
（Ⅱ）将列联表填写完整，并通过计算判定能否有99.9%把握认为选历史是否与性别有关？

	选历史	不选历史	总计
选考方案确定的男生
选考方案确定的女生
总计

（Ⅲ）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，设随机变量

%CE%BE%3D%5Cbegin%7Bcases%7D0%2C2%7B%5Crm%20%E5%90%8D%E7%94%B7%E7%94%9F%E9%80%89%E8%80%83%E6%96%B9%E6%A1%88%E4%B8%8D%E5%90%8C%7D%20%5C%5C%201%2C2%7B%5Crm%20%E5%90%8D%E7%94%B7%E7%94%9F%E9%80%89%E8%80%83%E6%96%B9%E6%A1%88%E7%9B%B8%E5%90%8C%7D%5Cend%7Bcases%7D

，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．
附：K²=

%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D

，n=a+b+c+d．

P（K²≥k₀）	0.05	0.01	0.005	0.001
k₀	3.841	6.635	7.879	10.828

难度：较难

解析收藏试题篮

7．
微信支付诞生于微信红包，早期只是作为社交的一部分“发红包”而诞生的，在发红包之余才发现，原来微信支付不仅可以用来发红包，还可以用来支付，现在微信支付被越来越多的人们所接受，现从某市市民中随机抽取300位对是否使用微信支付进行调查，得到下列2×2列联表．

年轻人

非年轻人

总计

经常使用微信支付

165

225

不常使用微信支付

合计

90

300

根据表中数据，我们得到的统计学结论是：有______%的把握认为“使用微信支付与年龄有关”．

P（K²≥k₀）

0.15

0.10

0.050

0.025

0.010

k₀

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

其中K²= $%5Cfrac%7Bn%28%7Bad%7D%7B-%7D%7Bbc%7D%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%7B%2B%7Db%29%28c%7B%2B%7Dd%29%28a%7B%2B%7Dc%29%28b%7B%2B%7Dd%29%7D$ ，n=a+b+c+d．

难度：较难

解析收藏试题篮
8． “黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”…江南梅雨的点点滴滴都流润着浓洌的诗情．每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南Q镇2009～2018年梅雨季节的降雨量（单位：m）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：

（Ⅰ）“梅实初黄暮雨深”．请用样本平均数估计Q镇明年梅雨季节的降雨量；
（Ⅱ）“江南梅雨无限愁”，Q镇的杨梅种植户老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，亩产量受降雨量的影响较大（把握超过八成）．而乙品种杨梅2009～2018年的亩产量（kg/亩）与降雨量的发生频数（年）如2×2列联表所示（部分数据缺失）．

降雨量
亩产量

[200，400）

[100，200）∪[400，500]

合计

＜600

2

≥600

1

合计

10

请你帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅受降雨量影响更小？（完善列联表，并说明理由）．
（参考公式：K²= $%5Cfrac%7Bn%28%7Bad%7D%7B-%7D%7Bbc%7D%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%7B%2B%7Db%29%28c%7B%2B%7Dd%29%28a%7B%2B%7Dc%29%28b%7B%2B%7Dd%29%7D$ ，其中n=a+b+c=d．）

P（K²≥k₀）

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

k₀

0.455

0.708

1.323

2.702

2.703

难度：较难

解析收藏试题篮
9．从某小区抽取50户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图1．

（1）求频率分布直方图中x的值并估计这50户用户的平均用电量；
（2）若将用电量在区间[50，150）内的用户记为A类用户，标记为低用电家庭，用电量在区间[250，350）内的用户记为B类用户，标记为高用电家庭，现对这两类用户进行问卷调查，让其对供电服务进行打分，打分情况见茎叶图如图2：
①从B类用户中任意抽取1户，求其打分超过85分的概率；
②若打分超过85分视为满意，没超过85分视为不满意，请填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“满意度与用电量高低有关”？

满意不满意合计

A类用户

B类用户

合计

附表及公式：

P（K²≥k₀） 0.050 0.010 0.001

k₀ 3.841 6.635 10.828

$K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，n=a+b+c+d．

难度：较难

解析收藏试题篮

0/40

进入组卷

等级	不合格		合格
得分	[20，40）	[40，60）	[60，80）	[80，100）
频数	6	x	24	y

每周使用次数	1次	2次	3次	4次	5次	6次及以上
男	4	3	3	7	8	30
女	6	5	4	4	6	20
合计	10	8	7	11	14	50

	年轻人	非年轻人	总计
经常使用微信支付	165		225
不常使用微信支付
合计		90	300

降雨量亩产量	[200，400）	[100，200）∪[400，500]	合计
＜600	2
≥600		1
合计			10

P（K²≥k₀）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10
k₀	0.455	0.708	1.323	2.702	2.703

	男性	女性	总计
反感	10
不反感		8
总计			30

	满意	不满意	合计
A类用户
B类用户
合计