知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

（2）为提高员工劳动的积极性，工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的，计件单价为1元；超出（0，200]件的部分，累进计件单价为1.2元；超出（200，400]件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元，将这4段中各段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，没实得计件工资（实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资）不少于3100元的人数为Z，求Z的分布列和数学期望．
附：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，

P（K²≥k	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

难度：难

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2．在某市高三教学质量检测中，全市共有5000名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考试学生人数为2000人，非示范性高中参加考试学生人数为3000人．现从所有参加考试的学生中随机抽取100人，作检测成绩数据分析．
（1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）；
（2）依据100人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分；
（3）如果规定成绩不低于130分为特别优秀，现已知语文特别优秀占样本人数的5%，语文、数学两科都特别优秀的共有3人，依据以上样本数据，完成列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．

语文特别优秀语文不特别优秀合计

数学特别优秀

数学不特别优秀

合计

参考公式：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$
参考数据：

P（K²≥k₀） 0.50 0.40 … 0.010 0.005 0.001

k₀ 0.455 0.708 … 6.635 7.879 10.828

难度：难

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3．大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的．根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关．为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：

喜欢盲拧不喜欢盲拧总计

男 23 30

女 11

总计 50

表（1）
并邀请这30名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如表所示：

成功完成时间（分钟） [0，10） [10，20） [20，30） [30，40]

人数 10 10 5 5

表（2）
（Ⅰ）将表（1）补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？
（Ⅱ）现从表（2）中成功完成时间在[0，10）内的10名男生中任意抽取3人对他们的盲拧情况进行视频记录，记成功完成时间在[0，10）内的甲、乙、丙3人中被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．
附参考公式及数据：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，其中n=a+b+c+d．

P（K²≥k₀） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k₀ 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

难度：难

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4．某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为 $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B11%7D$ ．

优秀非优秀合计

甲班 10

乙班 30

合计 110

（I）请完成上面的列联表；
（II）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；
（III）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人；把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到9号或10号的概率．

难度：难

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5．随着移动支付的普及，中国人的生活方式正在悄然发生改变，带智能手机而不带钱包出门，渐渐成为中国人的新习惯.2018年我国的移动支付迅猛增长，据统计某平台2018年移动支付的笔数占总支付笔数的80%．
（Ⅰ）从该平台的2018年的所有支付中任取3笔，求移动支付笔数的期望和方差；
（Ⅱ）现有500名使用移动支付平台的用户，其中300名是城市用户，200名是农村用户，调查他们2018年个人支付的比例是否达到80%，得到2×2列联表如下：

	个人移动支付比例达到了80%	个人移动支付比例未达到80%	合计
城市用户	270	30	300
农村用户	170	30	200
合计	440	60	500

根据上表数据，问是否有95%的把握认为2017年个人支付比例达到了80%与该用户是否是城市用户还是农村用户有关？
附： $K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28a%2Bc%29%28c%2Bd%29%28b%2Bd%29%7D$

X	0.050	0.010
f（x）=ln（x+1）-ax，g（x）=ax²（a∈R）．	3.841	6.635

难度：难

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6． “爱国，是人世间最深层、最持久的情感，是一个人立德之源、立功之本．”在中华民族几千年绵延发展的历史长河中，爱国主义始终是激昂的主旋律．爱国汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入x（亿元）与科技改造直接收益y（亿元）的数据统计如下：

x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25

y 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 66

当0＜x≤17时，建立了y与x的两个回归模型：模型①： $%20%5Coverset%7B%5Chat%20%7D%7By%7D%3D4.1x%2B11.8$ ；模型②： $%20%5Coverset%7B%5Chat%20%7D%7By%7D%3D21.3%20%5Csqrt%20%7Bx%7D$ -14.4；当x＞17时，确定y与x满足的线性回归方程为： $%20%5Coverset%7B%5Chat%20%7D%7By%7D%3D-0.7x%2Ba$ ．
（1）根据下列表格中的数据，比较当0＜x≤17时模型①、②的相关指数R²，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为17亿元时的直接收益．

回归模型模型① 模型②

回归方程 $%20%5Coverset%7B%5Chat%20%7D%7By%7D%3D4.1x%2B11.8$ $%20%5Coverset%7B%5Chat%20%7D%7By%7D%3D21.3%20%5Csqrt%20%7Bx%7D$ -14.4

$%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B7%7D%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%5Chat%20%7D%7By%7D_%7Bi%7D%29%5E%7B2%7D$ 182.4 79.2

（附：刻画回归效果的相关指数R²=1- $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%5Chat%20%7D%7By%7D_%7Bi%7D%29%5E%7B2%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20-%7D%7By%7D%29%5E%7B2%7D%7D$ ， $%20%5Csqrt%20%7B17%7D$ ≈4.1．）
（2）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小；
（附：用最小二乘法求线性回归方程 $%20%5Coverset%7B%5Chat%20%7D%7By%7D%3D%20%5Coverset%7B%5Chat%20%7D%7Bb%7Dx%2Ba$ 的系数公式 $%20%5Coverset%7B%5Chat%20%7D%7Bb%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%20%5Coverset%7B%20-%7D%7Bx%7D%5Ccdot%20%20%5Coverset%7B%20-%7D%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20x_%7B%20i%20%7D%5E%7B%202%20%7D-n%20%5Coverset%7B%20-%7D%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20-%7D%7Bx%7D%29%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20-%7D%7By%7D%29%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20-%7D%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D%7D$ ；a= $%20%5Coverset%7B%20-%7D%7By%7D-%20%5Coverset%7B%5Chat%20%7D%7Bb%7D%20%5Coverset%7B%20-%7D%7Bx%7D$ ）
（3）科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布N（0.52，0.01²），
公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%但不超过53%，不予奖励；若发动机的热效率超过50%但不超过53%，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励5万元．求每台发动机获得奖励的数学期望．
（附：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ-σ＜ξ＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜ξ＜μ+2σ）=0.9544．）

难度：难

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7．党的十九大报告中多次出现的“绿色”“低碳”“节约”等词语，正在走入百姓生活，绿色出行的理念已深入人心，骑自行车或步行渐渐成为市民的一种出行习惯．某市环保机构随机抽查统计了该市1800名成年市民某月骑车次数在各区间的人数，统计如表：

次数年龄	[0，10）	[10，20）	[20，30）	[30，40）	[40，50）	[50，60）
18岁至31岁	8	12	20	60	140	150
32岁至44岁	12	28	20	140	60	150
45岁至59岁	25	50	80	100	225	450
60岁及以上	25	10	10	19	4	2

联合国世界卫生组织于2013年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老人．
（1）若从被抽查的该月骑车次数在[40，60]的老年人中随机选出两名幸运者给予奖励，求其中一名幸运者该月骑车次数在[40，50）之间，另一名幸运者该月骑车次数在[50，60）之间的概率；
（2）若月骑车次数不少于30次者被称为“骑行爱好者”，将上面提供的数据进行统计后，把答卷中的2×2列联表补充完整，并计算说明能否在犯错误不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？
参考数据：

P（K²≥k₀）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

$K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，其中n=a+b+c+d

难度：难

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8．在2018年2月K12联盟考试中，我校共有500名理科学生参加考试，其中语文考试成绩近似服从正态分布N（95，17.5²），数学成绩的频率分布直方图如图：
（1）如果成绩大于130的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？
（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X人，求X的分布列和数学期望．
（3）根据以上数据，是否有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀？
①若X～N（μ，σ²），
则P（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.68，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.96
② $K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$
③

P（K²≥K₀） 0.50 0.40 … 0.010 0.005 0.001

K₀ 0.455 0.708 … 6.635 7.879 10.828

难度：难

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9． 2016年6月22日，“国际教育信息化大会”在山东青岛开幕．为了解哪些人更关注“国际教育信息化大会”，某机构随机抽取了年龄在15～75岁之间的100人进行调查，并按年龄绘制频率分布直方图，如图所示，其分组区间为：[15，25），[25，35），[35，45），[45，55），[55，65），[65，75]．把年龄落在区间[15，35）和[35，75]内的人分别称为“青少年”和“中老年”．
（Ⅰ）根据频率分布直方图求样本的中位数（保留两位小数）和众数；
（Ⅱ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”．

关注不关注合计

青少年 15

中老年

合计 50 50 100

附：参考公式： $K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，其中n=a+b+c+d
临界值表：

P（K²≥k₀） 0.05 0.010 0.001

k₀ 3.841 6.635 10.828

难度：难

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0/40

进入组卷

	语文特别优秀	语文不特别优秀	合计
数学特别优秀
数学不特别优秀
合计

P（K²≥k₀）	0.50	0.40	…	0.010	0.005	0.001
k₀	0.455	0.708	…	6.635	7.879	10.828

成功完成时间（分钟）	[0，10）	[10，20）	[20，30）	[30，40]
人数	10	10	5	5

P（K²≥k₀）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

回归模型	模型①	模型②
回归方程	$%20%5Coverset%7B%5Chat%20%7D%7By%7D%3D4.1x%2B11.8$	$%20%5Coverset%7B%5Chat%20%7D%7By%7D%3D21.3%20%5Csqrt%20%7Bx%7D$ -14.4
$%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B7%7D%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%5Chat%20%7D%7By%7D_%7Bi%7D%29%5E%7B2%7D$	182.4	79.2

	喜欢盲拧	不喜欢盲拧	总计
男	23		30
女		11
总计			50

	优秀	非优秀	合计
甲班	10
乙班		30
合计			110

x	2	3	4	6	8	10	13	21	22	23	24	25
y	13	22	31	42	50	56	58	68.5	68	67.5	66	66

	关注	不关注	合计
青少年	15
中老年
合计	50	50	100