知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x_i（单位：千元）与月储蓄y_i（单位：千元）的数据资料，算得 $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B10%7Dx_%7Bi%7D%3D80$ ， $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B10%7Dy_%7Bi%7D%3D20$ ， $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B10%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D%3D184$ ， $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B10%7D%20x_%7B%20i%20%7D%5E%7B%202%20%7D%3D720$ ．
（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程 $%20%CC%82y%3D%20%CC%82bx%2B%20%CC%82a$ ；
（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为12千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程 $%20%CC%82y%3D%20%CC%82bx%2B%20%CC%82a$ 中， $%20%CC%82b%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7Dy%20%C2%A0_%7B%20i%20%7D%5E%7B%20%C2%A0%20%7D-n%20%5Coverline%20%7Bx%7D%20%5Coverline%20%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20x_%7B%20i%20%7D%5E%7B%202%20%7D-n%20%5Coverline%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D$ ， $%20%CC%82a%3D%20%5Coverline%20%7By%7D-%20%CC%82b%20%5Coverline%20%7Bx%7D$ ．其中 $%20%5Coverline%20%7Bx%7D$ ， $%20%5Coverline%20%7By%7D$ 为样本平均值，线性回归方程也可写为 $%20%E2%88%A7y$ = $%20%E2%88%A7b$ x+ $%20%E2%88%A7a$ ．

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2．如表提供了某厂节能降耗技术改造后，在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应生产能耗y（吨）的几组对应数据：
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
（1）根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程；
（2）试估计产量为10吨时，相应的生产能耗．
参考公式： $%20%5Chat%20a$ = $%20%5Coverline%20%7By%7D$ - $%20%5Chat%20b$ $%20%5Coverline%20%7Bx%7D$ ， $%20%5Chat%20b$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%20%5Coverline%20%7Bx%7D%20%5Coverline%20%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7D%5E%7B2%7D-n%20%5Coverline%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D$ ．

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3．为了解某地区某种农产品的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：千元/吨）和利润z的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：
x 1 2 3 4 5
y 7.0 6.5 5.5 3.8 2.2
（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程 $%20%5Chat%20y$ = $%20%5Chat%20b$ x+ $%20%5Chat%20a$ ；
（Ⅱ）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z取到最大值？（保留两位小数）
参考公式： $%20%5Chat%20b$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%29%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%29%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D%29-n%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7D%5E%7B2%7D-n%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D$ ， $%20%5Chat%20a$ = $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D$ - $%20%5Chat%20b$ $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ ．

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4．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：

x	2	4	5	6	8
y	30	40	t	50	70

根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线方程为 $%20%5Chat%20y$ =6.5x+17.5，则t的值为（　　）

A．40

B．50

C．60

D．70

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5．某交警大队对辖区A路段在连续10天内的n天，对过往车辆驾驶员进行血液酒精浓度检查，查得驾驶员酒驾率f（n）如表；
n 5 6 7 8 9
f（n） 0.06 0.06 0.05 0.04 0.02
可用线性回归模型拟合f（n）与n的关系．
（1）建立f（n）关于n的回归方程；
（2）该交警大队将在2016年12月11日至20日和21日至30日对A路段过往车辆驾驶员进行血液酒精浓度检查，分别检查n₁，n₂天，其中n₁，n₂都是从8，9，10中随机选择一个，用回归方程结果求两阶段查得的驾驶员酒驾率都不超过0.03的概率．
附注：
参考数据： $%20%5Csum%5Climits_%7Bn%3D5%7D%5E%7B9%7Dnf%28n%29%3D1.51$ ， $%20%5Csum%5Climits_%7Bn%3D5%7D%5E%7B9%7Dn%5E%7B2%7D%3D255$ ， $%20%5Coverline%20%7Bf%28n%29%7D$ =0.046，回归方程 $%20%5Chat%20f%28n%29$ = $%20%5Chat%20b$ n+ $%20%5Chat%20a$ 中斜率和截距最小乘估计公式分别为： $%20%5Chat%20b%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bn%3D5%7D%5E%7B9%7Dnf%28n%29-5%20%5Coverline%20%7Bnf%28n%29%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bn%3D5%7D%5E%7B9%7Dn%5E%7B2%7D-5%20%5Coverline%20%7Bn%7D%5E%7B2%7D%7D$ ， $%20%5Chat%20a%3D%20%5Coverline%20%7Bf%28n%29%7D$ - $%20%5Chat%20b%20%5Coverline%20%7Bn%7D$ ．

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6．为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：
天数t（天） 3 4 5 6 7
繁殖个数y（千个） 2.5 m 4 4.5 6
及y关于t的线性回归方程 $%20%5Coverset%7B%5Chat%20%7D%7By%7D%3D0.85t-0.25$ ，则实验数据中m的值为 ______ ．

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7．经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x（0＜x≤10）与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如表的对应数据：
使用年数 2 4 6 8 10
售价 16 13 9.5 7 4.5
（Ⅰ）试求y关于x的回归直线方程；
（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为w=0.05x²-1.75x+17.2万元，根据（Ⅰ）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $%20%5Chat%20b$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%20%5Coverline%20%7Bx%7D%20%5Coverline%20%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7D%5E%7B2%7D-n%20%5Coverline%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D$ ， $%20%5Chat%20a$ = $%20%5Coverline%20%7By%7D$ - $%20%5Chat%20b$ $%20%5Coverline%20%7Bx%7D$ ．

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8．已知某厂的产量x吨与能耗y吨的机组对应数据：
x 3 4 5 6
y 2.5 m 4 4.5
由以上数据求出线性回归方程为y=0.35+0.7x，那么表中m的值为 ______ ．

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9．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下的对应数据：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 50 60 70
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 $%20%5Chat%20y$ = $%20%5Chat%20b$ x+ $%20%5Chat%20a$ ；
（3）要使这种产品的销售额突破一亿元，则广告费支出至少为多少百万元？（精确到0.1）

附表： $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20b%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%20%5Coverline%20%7Bx%7D%20%5Coverline%20%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20x_%7B%20i%20%7D%5E%7B%202%20%7D-n%20%5Coverline%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D%20%5C%5C%20a%3D%20%5Coverline%20%7By%7D-b%20%5Coverline%20%7Bx%7D%5Cend%7Bcases%7D$ ．

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