知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．（1）设直线l₁：y=k₁x+1，l₂：y=k₂x-1，其中实数k₁，k₂满足k₁k₂+2=0．证明l₁与l₂相交．
（2）若曲线C₁：x²+y²-2x=0x²+y²-2x=0与曲线C₂：y（y-mx-m）=0有四个不同的交点，求实数m的取值范围．

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2．在平面直角坐标系xOy中，直线l：mx-y+1=m，圆C：（x+1）²+（y-2）²=6．
（1）求证：对于任意m∈R，直线l与圆C恒有两个交点；
（2）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程．

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3．在平面直角坐标系中，圆O：x²+y²=4与x轴的正半轴交于点A，以A为圆心的圆A：（x-2）²+y²=r²（r＞0）与圆O交于B，C两点．
（1）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当线段DE长最小时，求直线l的方程；
（2）设P是圆O上异于B，C的任意一点，直线PB、PC分别与x轴交于点M和N，问OM•ON是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

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4．已知点P（2，2），圆C：x²+y²-8x=0，过点P的动直线l与圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
（Ⅰ）求动点M的轨迹方程；
（Ⅱ）当|0P|=|OM|时，求直线l的方程．

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5．在平面直角坐标系中，①若直线y=x+b与圆x²+y²=4相切，即圆x²+y²=4上恰有一个点到直线y=x+b的距离为0，则b的值为；②若将①中的“圆x²+y²=4”改为“曲线x=
4-y2
”，将“恰有一个点”改为“恰有三个点”，将“距离为0”改为“距离为1”，即若曲线x=
4-y2
上恰有三个点到直线y=x+b的距离为1，则b的取值范围是．

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6．在平面直角坐标系xOy中，过点A（0，1）作斜率为k的直线l，若直线l与以C为圆心的圆x²+y²-4x+3=0有两个不同的交点P和Q．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数k，使得向量
CP
+
CQ
与向量
m
=（-2，1）共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．

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7．已知圆O过点A（1，1），且与圆M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．
（1）求圆O的方程；
（2）若EF、GH为圆O的两条相互垂直的弦，垂足为N（1，
2
2
），求四边形EGFH的面积的最大值；
（3）已知直线l：y=
1
2
x-2，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，试探究直线CD是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，请说明理由．

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8．已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x-4y+4=0与圆相切．
（1）求圆C的方程；
（2）已知点Q（0，3），动点P在所求圆C上，求线段PQ中点M的轨迹方程；
（3）过点Q（0，-3）的直线l与圆C交于不同的两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且x₁x₂+y₁y₂=3，求△ABC的面积．

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9．动圆G与圆O₁：x²+y²+2x=0外切，同时与圆O₂：x²+y²-2x-8=0内切，设动圆圆心G的轨迹为Γ．
（1）求曲线Γ的方程；
（2）直线x=t（t＞0）与曲线Γ相交于不同的两点M，N，以MN为直径作圆C，若圆C与y轴相交于两点P，Q，求△PQC面积的最大值；
（3）已知A₁（-2，0），A₂（2，0），直线l：y=kx+m与曲线Γ相交于A，B两点（A，B均不与A₁，A₂重合），且以AB为直径的圆过点A₂，求证：直线l过定点，并求出该点坐标．

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10．动圆G与圆O₁：x²+y²+2x=0外切，同时与圆O₂：x²+y²-2x-8=0内切，设动圆圆心G的轨迹为Γ．
（1）求曲线Γ的方程；
（2）直线x=t（t＞0）与曲线Γ相交于不同的两点M，N，以MN为直径作圆C，若圆C与y轴相交于两点P，Q，求△PQC面积的最大值；
（3）设D（
3
，0），过D点的直线l（不垂直x轴）与曲线Γ相交于A，B两点，与y轴交于点E，若
EA
=λ
AD
，
EB
=μ
BD
，试探究λ+μ的值是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

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