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已知点\(P\)是棱长等于\(2\)的正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)内部的一动点，且\(|\overrightarrow{PA}|=2\)，则当\(\overrightarrow{P{{C}_{1}}}\cdot \overrightarrow{P{{D}_{1}}}\)的值达到最小时，\(\overrightarrow{P{{C}_{1}}}\)与\(\overrightarrow{P{{D}_{1}}}\)的夹角大小为________．
空间直角坐标系中，已知\(A(2,1,3)\)，\(B({-}2 ,3,1)\)，点\(A\)关于\(xOy\)平面对称的点为\(C\)，则\(B\)，\(C\)两点间的距离为\((\) \()\)
在如图所示的几何体中，四边形\(BB_{1}C_{1}C\)是矩形，\(BB_{1}⊥\)平面\(ABC\)，\(A_{1}B_{1}/\!/AB\)，\(AB=2A_{1}B_{1}\)，\(E\)是\(AC\)的中点．
\((1)\)求证：\(A_{1}E/\!/\)平面\(BB_{1}C_{1}C\)；
\((2)\)若\(AC=BC=2\sqrt{2}\)，\(AB=2BB_{1}=2\)，求二面角\(A—BA_{1}—E\)的余弦值．
点\(A(1{,}2{,}3)\)关于\(x\)轴的对称点的坐标为\(({ })\)
如图，在正方体\(ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1} \)中，\(E\)为线段\(A_{1}C_{1}\)的中点，则异面直线\(DE\)与\(B_{1}C\)所成角的大小为( )
如图，四边形\(ABCD\)为正方形，\(PD\bot \)平面\(ABCD\)， \(PD=\sqrt{3}AD\)，\(AE\bot PC\)于点\(E\)，\(EF/\!/CD\)，交\(PD\)于点\(F\)．
\((1)\)证明：平面\(ADE\bot \)平面\(PBC\)；
\((2)\)求二面角\(D-AE-F\)的余弦值．
设动点\(P\)在棱长为\(1\)的正方体\(ABCD—A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)的对角线\(BD_{1}\)上，记\(\overrightarrow{{{D}_{1}}P}=\lambda \overrightarrow{{{D}_{1}}B}\)，当\(∠APC\)为钝角时，\(λ\)的取值范围是________．
\((1)\)求证：\(EF/\!/ \)平面\(ABD\)；
\((2)\)若\(θ= \dfrac{π}{3} \)，求二面角\(F-BD-O\)的余弦值．
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