知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，梯形\(ABCD\)中，\(AB/\!/CD\)，矩形\(BFED\)所在的平面与平面\(ABCD\)垂直，且\(AD=DC=CB=BF=1\)，\(AB=2\)．

\((\)Ⅰ\()\)求证：\(AD\bot \)平面\(BFED\)；

\((\)Ⅱ\()\)若\(P\)为线段\(EF\)上一点，平面\(PAB\)与平面\(ADE\)所成的锐二面角为\(\theta \)，求\(\theta \)的最小值．

难度：较难

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2．

正三棱柱\(ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}(\)底面是正三角形，侧棱与底面垂直\()\)，\(AB=\sqrt{2}A{{A}_{1}}\)，则\(A{{B}_{1}}\)与\(B{{C}_{1}}\)所成的角为( )

A．\({{30}^{\circ }}\)

B．\({{45}^{\circ }}\)

C．\({{60}^{\circ }}\)

D．\({{90}^{\circ }}\)

难度：较难

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3．

如图所示，四边形\(ABCD\)为直角梯形，\(AB/\!/CD\)，\(AB⊥BC\)，\(\triangle ABE\)为等边三角形，且平面\(ABCD⊥\)平面\(ABE\)，\(AB=2CD=2BC=2\)，

\((1)\)求证：\(AB⊥DE\)；

\((2)\)求平面\(ADE\)与平面\(BCE\)所成的锐二面角的余弦值；

难度：较难

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4．

\((1)\)在柱坐标系中，长方体的两个顶点坐标为\(A_{1}(4,0,5)\)，\(C_{1}(6, \dfrac{π}{2} ,5)\)，则此长方体外接球的表面积为________________．

\((2)\)函数\(f(x)=-x^{3}+4x\)在点\((1,f(1))\)处的切线方程是_____．

\((3)\)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，\(x\)轴的非负半轴为极轴建立极坐标系\(.\)已知曲线\(C\)：\(ρ=\cos θ+\sin θ\)，直线\(l\)：\(\begin{cases}x= \dfrac{1}{2}- \dfrac{ \sqrt{2}}{2}t \\ y= \dfrac{ \sqrt{2}}{2}t\end{cases} (t\)为参数\().\)曲线\(C\)与直线\(l\)相交于\(P\)，\(Q\)两点，则\(|PQ|=\)__．

\((4)\)已知抛物线\(y^{2}=12x\)的焦点为\(F\)，若点\(A\)，\(B\)是该抛物线上的点，\(∠AFB= \dfrac{π}{2} \)，线段\(AB\)的中点\(M\)在抛物线的准线上的射影为\(N\)，则\( \dfrac{\left|MN\right|}{\left|AB\right|} \)的最大值为__．

难度：较难

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5．
已知正方形\(ABCD\)的边长为\(2\)，\(PA⊥\)平面\(ABCD\)，且\(PA=2\)，\(E\)是\(PD\)中点\(.\)以\(A\)为原点，建立如图所示的空间直角坐标系\(A-xyz\)．

\((\)Ⅰ\()\)求点\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)，\(P\)，\(E\)的坐标；

\((\)Ⅱ\()\)求\(\left| \overrightarrow{CE}\right| \)．

难度：较难

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6．
如图，在矩形\(ABCD\)中，\(AB=3,BC=3\sqrt{3}\)，点\(E\)，\(H\)分别是所在边靠近\(B\)，\(D\)的三等分点，现沿着\(EH\)将矩形折成直二面角，分别连接\(AD\)，\(AC\)，\(CB\)，形成如图所示的多面体．

\((1)\)证明：平面\(BCE/\!/\)平面\(ADH;\)

\((2)\)证明：\(EH⊥AC;\)

\((3)\)求二面角\(B-AC-D\)的平面角的余弦值．

难度：较难

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7．如图，在空间直角坐标系中，\(BC=2\)，原点\(O\)是\(BC\)的中点，点\(A\)的坐标是\(( \dfrac { \sqrt {3}}{2}, \dfrac {1}{2},0)\)，点\(D\)在平面\(yOz\)上，且\(∠BDC=90^{\circ}\)，\(∠DCB=30^{\circ}\)，求点\(D\)的坐标．

难度：较难

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8．
如图，点\(A(0,0,\sqrt{3})\)，在四面体\(ABCD\)中，\(AB⊥\)平面\(BCD\)，\(BC=CD\)，\(∠BCD=90^{\circ}\)，\(∠ADB=30^{\circ}\)，\(E\)、\(F\)分别是\(AC\)、\(AD\)的中点\(.\)求\(D\)、\(C\)、\(E\)、\(F\)这四点的坐标．

难度：较难

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9．如图，正三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)的底面边长是\(2\)，侧棱长是\(\sqrt{3}\)，\(D\)是\(AC\)的中点．

\((I)\)求证：\(B_{1}C/\!/\)平面\(A_{1}BD\)；
\((II)\)在线段\(AA_{1}\)上是否存在一点\(E\)，使得平面\(B_{1}C_{1}E⊥\)平面\(A_{1}BD\)，若存在，求出\(AE\)的长；若不存在，说明理由．

难度：较难

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