知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的右焦点为（1，0），且右焦点到上顶点的距离为 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P（2，2）的动直线交椭圆C于A，B两点，
（i）若|PA||PB|= $%20%5Cfrac%20%7B20%7D%7B3%7D$ ，求直线AB的斜率；
（ii）点Q在线段AB上，且满足 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%7CPA%7C%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%7CPB%7C%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B%7CPQ%7C%7D$ ，求点Q的轨迹方程．

难度：较难

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2．已知椭圆E： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的焦距为4，过焦点且垂直于x轴的弦长为2 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过椭圆E右焦点的直线l交椭圆于点M，N，设椭圆的左焦点为F，求 $%20%5Coverrightarrow%20%7BFM%7D$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7BFN%7D$ 的取值范围．

难度：较难

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3．已知F₁，F₂分别为椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B3%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%3D1$ 的左、右焦点，点P（x₀，y₀）在椭圆C上．
（Ⅰ）求 $%20%5Coverrightarrow%20%7BPF_%7B1%7D%7D$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7BPF_%7B2%7D%7D$ 的最小值；
（Ⅱ）若y₀＞0且 $%20%5Coverrightarrow%20%7BPF_%7B1%7D%7D$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7BPF_%7B2%7D%7D$ =0，已知直线l：y=k（x+1）与椭圆C交于两点A，B，过点P且平行于直线l的直线交椭圆C于另一点Q，问：四边形PABQ能否程成为平行四边形？若能，请求出直线l的方程；若不能，请说明理由．

难度：较难

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4．已知方向向量为v=（1， $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ）的直线l过点（0，-2 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ）和椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点E（-2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7BON%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B3%7D%20%5Csqrt%20%7B6%7D$ ．cot∠MON≠0（O为原点）．若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由．

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5．已知P，Q为椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D%3D1$ 上的两点，满足PF₂⊥QF₂，其中F₁，F₂分别为左右焦点．
（1）求 $%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BPF_%7B1%7D%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BPF_%7B2%7D%7D%7C$ 的最小值；
（2）若 $%28%20%5Coverrightarrow%20%7BPF_%7B1%7D%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BPF_%7B2%7D%7D%29%E2%8A%A5%28%20%5Coverrightarrow%20%7BQF_%7B1%7D%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BQF_%7B2%7D%7D%29$ ，设直线PQ的斜率为k，求k²的值．

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6．椭圆4x²+y²=2上的点到直线2x-y-8=0 的距离的最小值为（　　）

A． $%20%5Cfrac%20%7B6%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D%7B5%7D$

B． $%20%5Cfrac%20%7B3%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D%7B5%7D$

C．3

D．6

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7．过椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（0＜b＜a）中心的直线与椭圆交于A、B两点，右焦点为F₂（c，0），则△ABF₂的最大面积是（　　）

A．ab

B．bc

C．ac

D．b²

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8．已知曲线C₁： $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%3D-4%2Bcost%7D%7By%3D3%2Bsint%7D%5Cend%7Bcases%7D$ ，（t为参数），曲线C₂： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B64%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B9%7D$ =1．
（1）化C₁为普通方程，C₂为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？
（2）若C₁上的点P对应的参数为t= $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D$ ，Q为C₂上的动点，求PQ中点M到直线C₃：x-2y-7=0距离的最小值．

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9．设直线l：2x+y+2=0关于原点对称的直线为l′，若l′与椭圆x²+ $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D$ =1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ 的点P的个数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

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10．已知双曲线 $C%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞0，b＞0）的离心率为 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，右准线方程为 $x%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B3%7D$ ．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x²+y²=5上，求m的值．

难度：较难

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