知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，点P(1，
3
2
)在椭圆C上，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点B，且2
F1F2
+
F2B
=
0
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在过点Q（4，0）的直线m与椭圆C相交于不同的两点M，N，使得36|QP|²=35|QM|•|QN|？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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2．如图，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
，以椭圆C的上顶点T为圆心作圆T：x²+（y-1）²=r²（r＞0），圆T与椭圆C在第一象限交于点A，在第二象限交于点B．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求
TA
•
TB
的最小值，并求出此时圆T的方程；
（Ⅲ）设点P是椭圆C上异于A，B的一点，且直线PA，PB分别与Y轴交于点M，N，O为坐标原点，求证：|OM|•|ON|为定值．

难度：较难

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3．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
2
，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点，点P是椭圆C上异于A，B两点的任意一点，当△PAB为等腰三角形时，则△PAB的面积为2，．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线AP与直线x=4交于点M，直线MB交椭圆C于点Q，试问：直线PQ是否过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，说明理由．

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4．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆E的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）它的离心率为
3
3
，一个焦点是（-1，0），过直线x=3上一点M引椭圆E的两条切线，切点分别是A和B．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若在椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的点（x₀，y₀）处的切线方程是
x0x
a2
+
y0y
b2
=1．求证：直线AB恒过定点，并求出定点的坐标；
（Ⅲ）记点C为（Ⅱ）中直线AB恒过的定点，问是否存在实数λ，使得|
AC
|+|
BC
|=λ|
AC
|•|
BC
|成立，若成立求出λ的值，若不存在，请说明理由．

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5．已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
1
2
，且点（1，
3
2
）在椭圆E上．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆E只有一个公共点P．
（1）用实数k，m表示点P的坐标；
（2）若动直线l与直线x=4相交于点Q，问：在x轴上是否存在定点M，使得MP⊥MQ？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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6．椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
2
，以原点为圆心，椭圆C的短轴长为直径的圆与直线x-y+2=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P（0，1），Q（0，2），设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同的两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆上．

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7．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
1
2
，以原点为圆心，半径为b的圆与直线y=x+
6
相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知椭圆C的上顶点为B，过点B且互相垂直的动直线l₁，l₂与椭圆的另一个交点分别为P，Q，设直线PQ与y轴相交于点M，若
PM
=λ
MQ
，求实数λ的取值范围．

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8．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁、F₂，其离心率e=
1
2
，点P为椭圆上的一个动点，△PF₁F₂面积的最大值为4
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）经过F₂的直线m与曲线C交于P、Q两点，若|PQ|²=|F₁P|²+|F₁Q|²，求直线m的方程．

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9．已知O为坐标原点，F为椭圆C： $x%5E%7B2%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%3D1$ 在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为- $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ 的直线l与C交于A、B两点，点P满足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BOP%7D%3D%20%5Coverrightarrow%20%7B0%7D$ ．
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．

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10．已知圆 $M%3A%28x%2B%20%5Csqrt%20%7B5%7D%29%5E%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D%3D36$ ，定点 $N%28%20%5Csqrt%20%7B5%7D%2C0%29$ ，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BNP%7D%3D2%20%5Coverrightarrow%20%7BNQ%7D%2C%20%5Coverrightarrow%20%7BGQ%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BNP%7D%3D0$ ．
(I)求点G的轨迹C的方程；
(II)过点(2，0)作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOS%7D%3D%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ ，是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等(即|OS|=|AB|)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．

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