知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在平面直角坐标系xOy中，有一个以 $F_%7B1%7D%280%EF%BC%8C-%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29$ 和 $F_%7B2%7D%280%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29$ 为焦点、离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ 的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D%3D%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ ．求：
（Ⅰ）点M的轨迹方程；
（Ⅱ） $%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D%7C$ 的最小值．

难度：较易

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2．椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B16%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B12%7D$ =1的长轴为A₁A₂，短轴为B₁B₂，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得A₁点在平面B₁A₂B₂上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（　　）

A．75°

B．60°

C．45°

D．30°

难度：较易

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3．当α∈（

，

3π

）时，方程x²sinα-y²cosα=1表示的曲线是（　　）

A．焦点在x轴上的椭圆

B．焦点在y轴上的椭圆

C．焦点在x轴上的双曲线

D．焦点在y轴上的双曲线

难度：较易

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4．椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B3%7D%3D1$ 上有n个不同的点P₁，P₂，P₃，…，P_n，椭圆的右焦点F，数列{|P_nF|}是公差大于 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B100%7D$ 的等差数列，则n的最大值为（　　）

A．198

B．199

C．200

D．201

难度：较易

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5．设椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B3%7D$ =1的长轴两端点为M、N，点P在椭圆上，则PM与PN的斜率之积为（　　）

A． $-%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B4%7D$

B． $-%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B3%7D$

C． $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B4%7D$

D． $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B3%7D$

难度：较易

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6．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，4），离心率e=
5
5
，直线l交椭圆于M、N两点．
（1）若直线l的方程为y=x-4，求弦MN的长；
（2）如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．

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7．在平面直角坐标系xOy中，方向向量为 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bd%7D%3D%281%EF%BC%8Ck%29$ 的直线l经过椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B18%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B9%7D%3D1$ 的右焦点F，与椭圆相交于A、B两点
（1）若点A在x轴的上方，且 $%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%7C%3D%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BOF%7D%7C$ ，求直线l的方程；
（2）若k＞0，P（6，0）且△PAB的面积为6，求k的值；
（3）当k（k≠0）变化时，是否存在一点C（x₀，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0，若存在，求出x₀的值；若不存在，请说明理由．

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8．如图，已知椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B3%7D%3D1$ 的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．
（Ⅰ）若点G的横坐标为 $-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$ ，求直线AB的斜率；
（Ⅱ）记△GFD的面积为S₁，△OED（O为原点）的面积为S₂．试问：是否存在直线AB，使得S₁=S₂？说明理由．

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9．求满足下列条件的椭圆的标准方程．
（1）长轴与短轴的和为18，焦距为6；
（2）焦点在x轴上过点（0，2），长轴长为6．

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10．已知A，B为抛物线y²=2x上两动点，O为坐标原点且OA⊥OB，若直线AB的倾斜角为135°，则S_△AOB=____________．

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