知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知点M，N分别是椭圆 $C%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 的左右顶点，F为其右焦点，|MF|与|FN|的等比中项是 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，椭圆的离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设不过原点O的直线l与该轨迹交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求△OAB面积的取值范围．

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2．如图，F₁，F₂分别是椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点，且焦距为2 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，动弦AB平行于x轴，且|F₁A|+|F₁B|=4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P是椭圆C上异于点A，B的任意一点，且直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，若MF₂、NF₂的斜率分别为k₁、k₂，求证：k₁•k₂是定值．

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3．已知椭圆 $C%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 过点 $%281%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D%29$ ，且焦距为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过点P（-2，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点 $G%280%EF%BC%8C-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%29$ ，如果|GA|=|GB|，求直线l的方程．

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4．已知椭圆 $C%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 的两个焦点为 $F_%7B1%7D%EF%BC%8CF_%7B2%7D%EF%BC%8C%7CF_%7B1%7DF_%7B2%7D%7C%3D2%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，点A，B在椭圆上，F₁在线段AB上，且△ABF₂的周长等于 $4%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过圆O：x²+y²=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆O交于点M，N，求△PMN面积的最大值．

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5．设椭圆 $C%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 的离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ ，左顶点到直线x+2y-2=0的距离为 $%20%5Cfrac%20%7B4%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D%7B5%7D$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点O，试探究：点O到直线AB的距离是否为定值？若是，求出这个定值；否则，请说明理由；
（Ⅲ）在（2）的条件下，试求△AOB面积S的最小值．

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6．已知圆O：x²+y²=1，点O为坐标原点，一条直线l：y=kx+b(b＞0)与圆O相切并与椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D%3D1$ 交于不同的两点A、B．
(1)设b=f(k)，求f(k)的表达式；
(2)若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B3%7D$ ，求直线l的方程；
(3)若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D%3Dm%28%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B3%7D%5Cleq%20m%5Cleq%20%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B4%7D%29$ ，求三角形OAB面积的取值范围．

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7．已知椭圆C的焦点是 $F_%7B1%7D%280%2C-%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29$ ， $F_%7B2%7D%280%2C%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29$ ，点P在椭圆上且满足|PF₁|+|PF₂|=4．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)设直线l：2x+y+2=0与椭圆C的交点为A，B．
(i)求使△PAB的面积为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ 的点P的个数；
(ii)设M为椭圆上任一点，O为坐标原点， $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D%3D%5Clambda%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%2B%5Cmu%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D%28%5Clambda%20%2C%5Cmu%20%5Cin%20R%29$ ，求λ²+μ²的值．

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8．已知直线y=-x+1与椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%3Eb%3E0%29$ 相交于A、B两点，O为坐标原点，M为AB的中点．
(I)求证：直线AB与OM斜率的乘积等于e²-1(e为椭圆的离心率)；
(II)若 $2%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D%7C%3D%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BAB%7D%7C%5Ctext%7B%E4%B8%94%7De%5Cin%20%280%2C%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D%29$ 时，求a的取值范围．

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9．已知椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%3Eb%3E0%29$ 的离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B6%7D%7D%7B3%7D$ ，a= $%20%5Csqrt%20%7B5%7D$ ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知动直线x-my+1=0与椭圆C相交于A、B两点．
①若点M(- $%20%5Cfrac%20%7B7%7D%7B3%7D$ ，0)，求证： $%20%5Coverrightarrow%20%7BMA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BMB%7D$ 为定值；
②求三角形OAB面积的最大值(O为坐标原点)．

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10．若直线y=x+t与椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%2By%5E%7B2%7D%3D1$ 相交于A、B两点，当t变化时，求|AB|的最大值．

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