知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的离心率e=
2
，F₁、F₂为其左右焦点，点P在C上，且
PF2
•
F1F2
=0，
PF1
•
PF2
=2，O是坐标原点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过F₂的直线l与双曲线C交于A，B两点，求
F1A
•
F1B
的取值范围．

难度：较难

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2．（2015秋•大庆校级期中）如图所示，曲线C由部分椭圆C₁：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C₂：y=-x²+1（y≤0）连接而成，C₁与C₂的公共点为A，B，其中C₁所在椭圆的离心率为
2
2
，
（1）求a，b的值；
（2）过点B的直线l与C₁，C₂分别交于点P，Q（P，Q，A，B中任意两点均不重合），若AP⊥AQ，求直线l的方程．

难度：较难

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3．已知中心为坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点；
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于2？若存在求出直线方程；若不存在说明理由．

难度：较难

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4．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点为F（0，1），
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F作直线l交抛物线于A，B两点，若直线AO，BO分别与直线y=x-2交于M，N两点，求|MN|的取值范围．

难度：较难

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5．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点M（1，
2
2
），离心率e=
2
2
，F₁、F₂为椭圆的左、右焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设圆T的圆心T（0，t）在x轴上方，且圆T经过椭圆C两焦点．点P为椭圆C上的一动点，PQ与圆T相切于点Q．
①当Q（-
1
2
，-
1
2
）时，求直线PQ的方程；
②当PQ取得最大值为
5
2
时，求圆T方程．

难度：较难

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6．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，4），离心率e=
5
5
，直线l交椭圆于M、N两点．
（1）若直线l的方程为y=x-4，求弦MN的长；
（2）如果MN的中点为Q，且
BF
=2
FQ
，（F为椭圆的右焦点），求直线l方程的一般式．

难度：较难

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7．已知双曲线C以椭圆
x2
4
+
y2
3
=1的顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点．过双曲线C的右焦点的直线l交双曲线于A、B两点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若△OAB的面积（其中O为坐标原点）为6，求直线l的方程．

难度：较难

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8．已知曲线C：x²=-2py（p＞0），点M是曲线C上的一个动点，过点M且与曲线C相切的直线l的方程为x+y-1=0．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）点A、B是曲线C上的两点，O为原点，直线AB与x轴交于点P（2，0），记OA、OB的斜率为k₁、k₂，试探求k₁、k₂的关系，并证明你的结论．

难度：较难

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9．已知点B（0，1），点C（0，-3），直线PB、PC都是圆（x-1）²+y²=1的切线（P点不在y轴上）．
（Ⅰ）求过点P且焦点在x轴上抛物线的标准方程；
（Ⅱ）过点（1，0）作直线l与（Ⅰ）中的抛物线相交于M、N两点，问是否存在定点R，使
RM
•
RN
为常数？若存在，求出点R的坐标与常数；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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10．已知抛物线C₁：y²=2px（p＞0）与直线x-y+1=0相切，椭圆C₂：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线C₁的焦点F重合，且离心率为
2
2
，点M（a²，0）．
（1）求抛物线C₁与椭圆C₂的方程；
（2）若在椭圆C₂上存在两点A，B使得
FA
=λ
FB
（λ∈[-2，-1]），求|
MA
+
MB
|的最小值．

难度：较难

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