知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A₁O⊥底面ABCD，AB=AA₁=2．
（I）证明：平面A₁CO⊥平面BB₁D₁D；
（Ⅱ）若∠BAD=60°，求二面角B-OB₁-C的余弦值．

难度：较难

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2．（2016春•赣州校级月考）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁B=B₁A=AB=BC，∠B₁BC=90°，D为AC的中点，AB⊥B₁D．
（I）求证：平面ABB₁A⊥平面ABC；
（Ⅱ）在线段CC₁（不含端点）上，是否存在点E，便得二面角E-B₁D-B的余弦值为-
7
14
？若存在，求出
|CE|
|CC1|
的值，若不存在，说明理由．

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3．已知线段PD垂直于正方形ABCD所在平面，D为垂足，|PD|=5cm，|AB|=8cm，连接PA、PB、PC．
（1）求证：平面PBC⊥平面PDC；
（2）求PB与平面ABCD所成角的正切值．

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4．如图，在梯形PDCB中，BC=PD，DC∥PB，PB=3DC=3，PD=
2
，DA⊥PB，将△PAD沿AD折起，使得PA⊥AB，得到四棱锥P-ABCD，点M在棱PB上．

（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）如果AM⊥PB，求二面角C-AM-B的正切值；
（Ⅲ）当PD∥平面AMC时，求三棱锥P-ABC与三棱锥M-ABC的体积之比．

难度：较难

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5．如图所示，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．
（1）求证：平面BDE⊥平面ACE；
（2）已知CE=1，点M为线段BD上的一个动点，直线EM与平面ABCD所成角的最大值为
π
4
．
①求正方形ABCD的边长；
②在线段EO上是否存在一点G，使得CG⊥平面BDE？若存在，求出
EG
EO
的值；若不存在，请说明理由．

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6．在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD与侧面PAB都是以A为直角顶点的直角三角形，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，AD=5，E是CD的中点．
（Ⅰ）证明：平面PCD⊥平面PAE；
（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求二面角P-BC-D的正切值．

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7．如图，底面是矩形的四棱锥P-ABCD中AB=2，BC=
2
5
，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD．
（1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；
（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；
（3）求直线AB与平面PCD的距离．

难度：较难

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8．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点．
（1）证明AD⊥D₁F；
（2）求AE与D₁F所成的角；
（3）证明面AED⊥面A₁FD₁；
（4）设AA₁=2，求三棱锥F-A₁ED₁的体积VF-A1ED1．

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9．如图（1），已知A，B，C．P四点共面，PC上AC，AB=BC，D，F分别为AC，PC的中点，DE⊥AP于E．把平面四边形ABCP沿AC折成直二面角，如图（2）．
（1）求i正：AP⊥平面BDE；
（2）求证：平面BDF⊥平面BDE；
（3）延长AB至H，使得AB=BH，如图（3）．在AP上是否存在点Q，使得平面CHQ∥平面BDE？若存在，指出Q点位置；若不存在，说明理由．

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