知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知矩阵A=
2 b
1 3
属于特征值λ的一个特征向量为α=
1
-1
．
（1）求实数b，λ的值；
（2）若曲线C在矩阵A对应的变换作用下，得到的曲线为C′：x²+2y²=2，求曲线C的方程．

难度：较难

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2．已知向量
1
-1
在矩阵M=
.
1 m
0 1
.
变换下得到的向量是
0
-1
．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求曲线y²-x+y=0在矩阵M^-1对应的线性变换作用下得到的曲线方程．

难度：较难

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3．已知点A（a，b）（其中a≠b）在矩阵M=
cosα -sinα
sinα cosα
对应的变换作用下得到点A（-b，a）．
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（Ⅱ）求曲线C：（x-1）²+y²=1在矩阵M^-1所对应的变换作用下得到的曲线C′的方程．

难度：较难

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4．已知矩阵M=
a 1
1 b
，若向量
-2
1
在矩阵M的交换下得到向量
1
2

（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）矩阵N=
1 0
2 1
，求直线x+y+1=0在矩阵NM的对应变换作用下得到的曲线方程．

难度：较难

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5．在直角坐标平面内，将每个点绕原点按逆时针方向旋转45°的变换R所对应的矩阵为M，将每个点横、纵坐标分别变为原来的
2
倍的变换T所对应的矩阵为N．
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（Ⅱ）求曲线xy=1先在变换R作用下，然后在变换T作用下得到的曲线方程．

难度：较难

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6．在平面直角坐标系xOy中，把矩阵B=
1
2
0
0 1
确定的压缩变换σ与矩阵A=
0 -1
1 0
确定的旋转变换R_90°进行复合，得到复合变换R_90°．σ．
（I）求复合变换R_90°．σ的坐标变换公式；
（Ⅱ）求圆C：x²+y²=1在复合变换R_90°．σ的作用下所得曲线C′的方程．

难度：较难

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7．如图，矩形OABC和平行四边形OA₁B₁C₁的部分顶点坐标为：A（-1，0），B（-1，2），A₁（
1
2
，1），C₁（2，0）．
（Ⅰ）求将矩形OABC变为平行四边形OA₁B₁C₁的线性变换对应的矩阵M；
（Ⅱ）矩阵M是否存在特征值？若存在，求出矩阵M的所有特征值及其对应的一个特征向量；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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8．矩阵A=

1 0

0 2

，向量

，则A¹⁰

=（　　）

A．

210

B．

211

C．

D．

难度：较难

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9．若矩阵

a1	a2	a3	a4
b1	b2	b3	b4

满足下列条件：①每行中的四个数所构成的集合均为{1，2，3，4}；②四列中至少有两列的上下两数是相同的．则这样的不同矩阵的个数为（　　）

A．48

B．72

C．168

D．312

难度：较难

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10．直角坐标系xoy中，点（2，-2）在矩阵M=
0 1
a 0
对应变换作用下得到点（-2，4），曲线C：x²+y²=1在矩阵M对应变换作用下得到曲线C′，
（1）求曲线C′的方程．
（2）求矩阵M的特征值和特征向量．

难度：较难

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