知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知在矩阵M对应的变换作用下，点A（1，0）变为A′（1，0），点B（1，1）变为B′（2，1）
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）求M²，M³，并猜测Mⁿ（只写结果，不必证明）

难度：较难

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2．已知点A（1，2）在矩阵M=[
a a
1 b
]（a，b，∈R）对应的变换作用下得到点A′（6，7）．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）求矩阵M的特征值及属于每个特征值的一个特征向量．

难度：较难

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3．设矩阵M=（
1 2
4 3
）．
（Ⅰ）已知曲线C₁：y-x+1=0在矩阵M^-1对应变换作用下得到曲线C₂，求曲线C₂的方程；
（Ⅱ）已知
α
=（

5
4
），计算M³
α
的值．

难度：较难

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4．已知矩阵A=
1 3
2 4
，向量
α
=
1
2
，求矩阵A的逆矩阵，及使得A
β
=
α
成立的向量
β
．

难度：较难

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5．已知矩阵M=
2
0
0
2
，记绕原点逆时针旋转
π
4
的变换所对应的矩阵为N．
（Ⅰ）求矩阵N；
（Ⅱ）若曲线C：xy=1在矩阵MN对应变换作用下得到曲线C′，求曲线C′的方程．

难度：较难

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6．已知点M（3，-1）绕原点按逆时针旋转90°后，且在矩阵A=
a 0
2 b
对应的变换作用下，得到点N（3，5），求a，b的值．

难度：较难

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7．已知关于x，y的二元一次方程组为
a 2
2 -1
x
y
=
e
f
﹒
（Ⅰ）若该方程组有唯一解，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若a=2，且该方程组存在非零解
x
y
满足
e
f
=λ
x
y
，求λ的值﹒

难度：较难

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8．已知矩阵A=
a
0
1
b
把点（1，1）变换成点（2，2）
（Ⅰ）求a，b的值
（Ⅱ）求曲线C：x²+y²=1在矩阵A的变换作用下对应的曲线方程．

难度：较难

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9．已知矩阵M=
2 0
1 1
：
①求矩阵M的逆矩阵M^-1；
②求矩阵M的特征值及相应的特征向量．

难度：较难

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10．设A=
2 1
5 3
，x=
x
y
，B=
4
11
，且AX=B．
（1）求A^-1；
（2）求X．

难度：较难

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