知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．己知曲线C的极坐标方程是ρ²-4ρcosθ-2psinθ=0．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．在平面直角坐标系中，直线经过点P（1，2），倾斜角为
π
6
．
（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线的参数方程；
（2）设直线与曲线C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．

难度：较难

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2．已知平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₁方程为ρ=2sinθ；C₂的参数方程为
x=-1+
1
2
t
y=
3
2
t
（t为参数）．
（Ⅰ）写出曲线C₁的直角坐标方程和C₂的普通方程；
（Ⅱ）设点P为曲线C₁上的任意一点，求点P 到曲线C₂距离的取值范围．

难度：较难

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3．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C₁的极坐标方程为ρ=2，正三角形ABC的顶点都在C₁上，且A，B，C依逆时针次序排列，点A的坐标为（2，0）．
（1）求点B，C的直角坐标；
（2）设P是圆C₂：x²+（y+
3
）²=1上的任意一点，求|PB²|+|PC|²的取值范围．

难度：较难

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4．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴为正半轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ-2sinθ，直线l的参数方程为
x=-t
y=
1
2
+at
（t为参数，a为常数）．
（1）求直线l普通方程与圆C的直角坐标方程；
（2）若直线l分圆C所得的两弧长度之比为1：2，求实数a的值．

难度：较难

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5．已知定点O（0，0），A（3，0），动点P到定点O距离与到定点A的距离的比值是
1
λ
．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；
（Ⅱ）当λ=4时，记动点P的轨迹为曲线D．F，G是曲线D上不同的两点，对于定点Q（-3，0），有|QF|•|QG|=4．试问无论F，G两点的位置怎样，直线FG能恒和一个定圆相切吗？若能，求出这个定圆的方程；若不能，请说明理由．

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6．已知曲线C₁的参数方程为
x=-2-
3
t
2
y=
1
2
t
曲线C₂的极坐标方程为ρ=2
2
cos（θ-
π
4
），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．
（1）求曲线C₂的直角坐标方程；
（2）求曲线C₂上的动点M到直线C₁的距离的最大值．

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7．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l的参数方程是
x=-
3
5
t+2
y=
4
5
t
（t为参数）
（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值．

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8．已知直线l的参数方程为
x=1-
2
2
t
y=1+
2
2
t
（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρ（sinθ+cosθ）+4=0．
（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程；
（Ⅱ）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）

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9．将单位圆经过伸缩变换：φ：
x′=λx
y′=μy
（λ＞0，μ＞0）得到曲线C：
x2
4
+
y2
2
=1
（1）求实数λ，μ的值；
（2）以原点O 为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，将曲线C 上任意一点到极点的距离ρ（ρ≥0）表示为对应极角θ（0≤θ＜2π）的函数，并探求θ为何值时，ρ取得最小值？

难度：较难

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10．曲线C₁的参数方程为

cosθ

y=sinθ

（θ为参数），圆C₂：x²+（y-6）²=2，设P，Q分别为曲线C₁和圆C₂上的点，则P，Q两点间的最大距离是（　　）

A．5

B．

C．7+

D．6

难度：较难

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