知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设函数f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），（a≥0）．
（1）如果a=1，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若函数f（x）在区间（-1，e-1）上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）证明：当m＞n＞0时，（1+m）ⁿ＜（1+n）^m．

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2． A．选修4-1几何证明选讲
如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．
求证：ED²=EB•EC．
B．矩阵与变换
已知矩阵A=
2 -1
-4 3
，
4 -1
-3 1
，求满足AX=B的二阶矩阵X．
C．选修4-4 参数方程与极坐标
若两条曲线的极坐标方程分别为ρ=1与ρ=2cos（θ+
π
3
），它们相交于A，B两点，求线段AB的长．
D．选修4-5 不等式证明选讲设a，b，c为正实数，求证：a³+b³+c³+
1
abc
≥2
3
．

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3．（1）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵M=（
2 a
2 b
）的两个特征值分别为λ₁=-1和λ₂=4．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求直线x-2y-3=0在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的参数方程为
x=sinα
y=2cos2α-2
，（α为参数），曲线D的坐标方程为ρsin（θ-
π
4
）=-
3
2
2
．
（Ⅰ）将曲线C的参数方程化为普通方程；
（Ⅱ）判断曲线c与曲线D的交点个数，并说明理由．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知a，b为正实数．
（Ⅰ）求证：
a2
b
+
b2
a
≥a+b；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论求函数y=
(1-x)2
x
+
x2
1-x
（0＜x＜1）的最小值．

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4．已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=2，a_n-1=a_n（a_n+1-1），b_n=a_n-1，数列{b_n}的前n和为S_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设T_n=S_2n-S_n，求证：T_n+1＞T_n；
（3）求证：对任意的n∈N^*有1+
n
2
≤S2n≤
1
2
+n成立．

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5．定义数列如下：a₁=2，a_n+1=a_n²-a_n+1，n∈N^*．证明：
（1）当n＞2，且n∈N^*时，有a_n+1=a_n•a_n-1•…•a₂•a₁+1成立；
（2）1-
1
22010
＜
1
a1
+
1
a2
+…+
1
a2010
＜1．

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6． A、已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连接DB、DE、OC．若AD=2，AE=1，求CD的长．
B．运用旋转矩阵，求直线2x+y-1=0绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程．
C．已知A是曲线ρ=3cosθ上任意一点，求点A到直线ρcosθ=1距离的最大值和最小值．
D．证明不等式：
1
1
+
1
1×2
+
1
1×2×3
+L+
1
1×2×3×L×n
＜2．

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7．已知数列{a_n}，a_n≥0，a₁=0，a_n+1²+a_n+1-1=a_n²（n∈N^•）．记S_n=a₁+a₂+…+a_n．Tn=
1
1+a1
+
1
(1+a1)(1+a2)
+…+
1
(1+a1)(1+a2)…(1+an)
．
求证：当n∈N^•时，
（Ⅰ）a_n＜a_n+1；
（Ⅱ）S_n＞n-2．
（Ⅲ）T_n＜3．

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8．设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，而当x∈[2，3]时，g（x）=-x²+4x-4．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）对任意x₁，x₂∈[0，1]，且x₁≠x₂，求证：|f（x₂）-f（x₁）|＜2|x₂-x₁|；
（Ⅲ）对任意x₁，x₂∈[0，1]，且x₁≠x₂，求证：|f（x₂）-f（x₁）|≤1．

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9．已知1＜m＜n，m，n∈N^*，求证：（1+m）ⁿ＞（1+n）^m．

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10．已知0＜x＜
π
2
，用单位圆求证下面的不等式：
（1）sinx＜x＜tanx；
（2）sin
1
2
•sin
2
3
•sin
3
4
•…•sin
2010
2011
＜
1
2010
．

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