已知数列\(\{x_{n}\}\)满足\({{x}_{1}}=\dfrac{{1}}{{2}}\)，\({{x}_{n+1}}=\dfrac{{1}}{{1}+{{x}_{n}}}\)，\(n∈N^{*}\)．

\((1)\)猜想数列\(\{x_{2n}\}\)的单调性，并证明你的结论：

\((2)\)证明：\(|{{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}|\leqslant \dfrac{1}{6}{{\left( \dfrac{2}{5} \right)}^{n-1}}\)．

当\(n\in {{N}^{*}}\)时，\({{S}_{n}}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdot \cdot \cdot +\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n}\)，\({{T}_{n}}=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+3}+\cdot \cdot \cdot +\dfrac{1}{2n}\)，

\((\)Ⅰ\()\)求\({{S}_{1}},{{S}_{2}},{{T}_{1}},{{T}_{2}}\)；

\((\)Ⅱ\()\)猜想\({{S}_{n}}\)与\({{T}_{n}}\)的关系，并用数学归纳法证明．

用数学归纳法证明\(\dfrac{1}{n+1}+ \dfrac{1}{n+2}+⋯+ \dfrac{1}{3n}\geqslant \dfrac{5}{6} \)时，从\(n=k\)到\(n=k+1\)，不等式左边需添加的项是\((\)    \()\)

设\(f(k)\)是定义在正整数集上的函数，满足“只要\(f(k)\geqslant k^{2}\)成立就能推出\(f(k+1)\geqslant (k+1)^{2}\)成立”，则下列命题总成立的是  \((\)    \()\)

若命题\(P(k)\)是\( \dfrac{1+{a}^{2}+{a}^{4}+⋯+{a}^{2k}}{a+{a}^{3}+⋯+{a}^{2k-1}} > \dfrac{k+1}{k}\left(a > 0,a\neq 1,k∈{N}^{*}\right) \)，则命题\(P(k+1)\)是________．

用数学归纳法证明：

\({{1}^{2}}-{{2}^{2}}+{{3}^{2}}-{{4}^{2}}+\cdots +{{(-1)}^{n-1}}\cdot {{n}^{2}}={{(-1)}^{n-1}}\cdot \dfrac{n(n+1)}{2}(n\in {{N}_{+}})\)．

已知等比数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)满足：\(2{{a}_{2}}+{{a}_{4}}=3{{a}_{3}}\)，\({{a}_{2}}+1\)是\({{a}_{1}},{{a}_{3}}\)的等差中项．

\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式；

\((\)Ⅱ\()\)试比较\(\sqrt{{{a}_{n}}+2}\)与\({{\log }_{2}}{{a}_{n}}\)的大小，并证明你的结论．

已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)满足\({{a}_{1}}=a,{{a}_{n+1}}=\dfrac{1}{2-{{a}_{n}}}.\)

\((1)\)试求\({{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{4}} ;\)

\((2)\)猜测通项\({{a}_{n}}\)的表达式，并用数学归纳法加以证明．