知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}的各项都是正数，且满足：a0=1，an+1=
1
2
an•(4-an)，n∈N．
（1）求a₁，a₂；
（2）证明a_n＜a_n+1＜2，n∈N．

难度：较难

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2．已知α₁，α₂，…α_n∈（0，π），n是大于1的正整数，求证：|sin（α₁+α₂+…+α_n）|＜sinα₁+sinα₂+…+sinα_n．

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3．已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=2，a_n-1=a_n（a_n+1-1），b_n=a_n-1，数列{b_n}的前n和为S_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设T_n=S_2n-S_n，求证：T_n+1＞T_n；
（3）求证：对任意的n∈N^*有1+
n
2
≤S2n≤
1
2
+n成立．

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4．定义数列如下：a₁=2，a_n+1=a_n²-a_n+1，n∈N^*．证明：
（1）当n＞2，且n∈N^*时，有a_n+1=a_n•a_n-1•…•a₂•a₁+1成立；
（2）1-
1
22010
＜
1
a1
+
1
a2
+…+
1
a2010
＜1．

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5．数列{a_n}中，an+1=
an2
2an-2
，n∈N^*．
（I）若a1=
9
4
，设bn=log
1
3
an-2
an
，求证数列{b_n}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（II）若a₁＞2，n≥2，n∈N，用数学归纳法证明：2＜an＜2+
a1-2
2n-1
．

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6．点P_n（x_n，y_n）在曲线C：y=e^-x上，曲线C在点P_n处的切线l_n与x轴相交于点Q_n（x_n+1，0），直线t_n+1：x=x_n+1与曲线C相交于点P_n+1（x_n+1，y_n+1），（n=1，2，3，…）．由曲线C和直线l_n，t_n+1围成的图形面积记为S_n，已知x₁=1．
（Ⅰ）证明：x_n+1=x_n+1；
（Ⅱ）求S_n关于n的表达式；
（Ⅲ）记数列{S_n}的前n项之和为T_n，求证：
Tn+1
Tn
＜
xn+1
xn
（n=1，2，3，…）．

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7．已知函数f（x）=x³-x²+
x
2
+
1
4
，且存在x₀∈（0，
1
2
），使f（x₀）=x₀．
（1）证明：f（x）是R上的单调增函数；
（2）设x₁=0，x_n+1=f（x_n）；y₁=
1
2
，y_n+1=f（y_n），其中n=1，2，…，证明：x_n＜x_n+1＜x₀＜y_n+1＜y_n；
（3）证明：
yn+1-xn+1
yn-xn
＜
1
2
．

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8．数列{a_n}满足a₁=1且a_n+1=（1+
1
n2+n
）a_n+
1
2n
（n≥1）．
（Ⅰ）用数学归纳法证明：a_n≥2（n≥2）；
（Ⅱ）已知不等式ln（1+x）＜x对x＞0成立，证明：a_n＜e²（n≥1），其中无理数e=2.71828…．

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9．已知a＞0，数列{an}满足a1=a，an+1=a+
1
an
，n=1，2，….
（I）已知数列{a_n}极限存在且大于零，求A=
lim
n→∞
an（将A用a表示）；
（II）设bn=an-A，n=1，2，…，证明：bn+1=-
bn
A(bn+A)
；
（III）若|bn|≤
1
2n
对n=1，2，…都成立，求a的取值范围．

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10．设a＞2，给定数列{x_n}，其中x₁=a，xn+1=
x
2
n
2(xn-1)
(n=1，2…)求证：
（1）x_n＞2，且
xn+1
xn
＜1(n=1，2…)；
（2）如果a≤3，那么xn≤2+
1
2n-1
(n=1，2…)．

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