知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄，并猜想数列{a_n}的通项公式（不必证明）；
（Ⅱ）证明：当λ≠0时，数列{a_n}不是等比数列；
（Ⅲ）当λ=1时，试比较a_n与n²+1的大小，证明你的结论．

难度：较难

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2．在单调递增数列{a_n}中，a₁=2，不等式（n+1）a_n≥na_2n对任意n∈N^*都成立．
（Ⅰ）求a₂的取值范围；
（Ⅱ）判断数列{a_n}能否为等比数列？说明理由；
（Ⅲ）设bn=(1+1)(1+
1
2
)…(1+
1
2n
)，cn=6(1-
1
2n
)，求证：对任意的n∈N^*，
bn-cn
an-12
≥0．

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3．已知正项数列{a_n}满足：a₁=1，且（n+1）a_n+1²=na_n²-a_n+1a_n，n∈N^*
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{
1
an
}的前n项积为T_n，求证：当x＞0时，对任意的正整数n都有T_n＞
xn
ex
．

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4．已知数列{a_n}中，a₂=a+2（a为常数），S_n为{a_n}的前n项和，且S_n是na_n与na的等差中项．
（Ⅰ）求a₁，a₃；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若b_n=3ⁿ且a=2，T_n为数列{a_n•b_n}的前n项和，求
lim
n→∞
Tn-n•3n+1
bn
的值．

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5．设f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导函数为f'（x），且对任意正数x均有f′(x)＞
f(x)
x
，
（1）判断函数F(x)=
f(x)
x
在（0，+∞）上的单调性；
（2）设x₁，x₂∈（0，+∞），比较f（x₁）+f（x₂）与f（x₁+x₂）的大小，并证明你的结论；
（3）设x₁，x₂，…x_n∈（0，+∞），若n≥2，比较f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n）与f（x₁+x₂+…+x_n）的大小，并证明你的结论．

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6．已知f(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
(n∈N*)，g(n)=2(
n+1
-1)(n∈N*)．
（1）当n=1，2，3时，分别比较f（n）与g（n）的大小（直接给出结论）；
（2）由（1）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并证明你的结论．

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7．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n²-（a_n+2）S_n+1=0，1-S_n=a_nb_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若正项数列{c_n}满足cn≤
a
1+(bn-1)a
(n∈N*，0＜a＜1)，求证：
n
k=1
ck
k+1
＜1．

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8．设函数f（x）=x²+2lnx，用f′（x）表示f（x）的导函数，g(x)=(x2-
m2
12
)f′(x)，其中m∈R，且m＞0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x₁、x2∈[
1
3
，1]都有f′（x₁）≤g′（x₂）成立，求m实数的取值范围；
（3）试证明：对任意正数a和正整数n，不等式[f′（a）]ⁿ-2^n-1f′（aⁿ）≥2ⁿ（2ⁿ-2）．

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9．设函数f(x)=x2ex-1-
1
3
x3-x2(x∈R)．
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）求y=f（x）在[-1，2]上的最小值；
（3）当x∈（1，+∞）时，用数学归纳法证明：∀n∈N*，ex-1＞
xn
n!
．

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10．在数列|a_n|中，a₁=t-1，其中t＞0且t≠1，且满足关系式：a_n+1（a_n+tⁿ-1）=a_n（tⁿ⁺¹-1），（n∈N⁺）
（1）猜想出数列|a_n|的通项公式并用数学归纳法证明之；
（2）求证：a_n+1＞a_n，（n∈N⁺）．

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