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已知函数，\(f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{{e}^{x}},x < 0 \\ {e}^{x},x > 0\end{cases} \)，\(g(x)=m{x}^{2} \)，若关于\(x\)的方程\(f(x)+g(x)=0\)有四个不同的实数解，则实数\(m\)的取值范围是 ．
函数\(f\left(x\right)={x}^{2}-2ax+\ln x\left(a∈R\right) \)．
\((I)\)函数\(y=f(x)\)在点\((1,f(1))\)处的切线与直线\(x-2y+1=0\)垂直，求\(a\)的值；
\((II)\)讨论函数\(f(x)\)的单调性；
\((III)\)不等式\(2x\ln x\geqslant -{x}^{2}+ax-3 \)在区间\(\left( 0,e \right]\)上恒成立，求实数\(a\)的取值范围．
已知函数\(f(x)=\dfrac{ax+b}{x}e^{x}\)，\(a\)，\(b\in R\)，且\(a > 0\)．
\((1)\)若\(a=2\)，\(b=1\)，求函数\(f(x)\)的极值；
\((2)\)设\(g(x)=a (x-1)e^{x}-f(x).\)当\(a=1\)时，对任意\(x\in \) \((0,+∞)\)，都有\(g(x)\geqslant 1\)成立，求\(b\)的最大值；
设函数\(f\left( x \right)={\ln }\left( x+1 \right)+a\left( {{x}^{2}}-x \right)\)，其中\(a\in R\)．
\((1)\)讨论函数\(f\left( x \right)\)极值点的个数，并说明理由；
\((2)\)若\(\forall x > 0,f\left( x \right)\geqslant 0\)成立，求\(a\)的取值范围．
若函数\(f(x)= \dfrac{x^{3}}{3}- \dfrac{a}{2}x^{2}+x+1\)在区间\(( \dfrac{1}{2},3)\)上有极值点，则实数\(a\)的取值范围是________．
已知函数\(f(x)=\ln (1+x^{2})+ax(a\leqslant 0)\)．
\((1)\)若\(f(x)\)在\(x=0\)处取得极值，求\(a\)的值；
\((2)\)讨论\(f(x)\)的单调性；
\((3)\)证明：\(\left( 1+\dfrac{1}{4} \right)\left( 1+\dfrac{1}{16} \right)\cdots \left( 1+\dfrac{1}{{{4}^{n}}} \right) < {{e}^{1-\frac{1}{{{2}^{n}}}}}(n\in {{N}_{+}},e)\)为自然对数的底数\()\)
若直线\(l\)：\(y\)\(=\)\(kx\)\(-1\)与曲线\(C\)：\(y\)\(=\)\(x\)\(-1+ \dfrac{1}{e^{x}}\)没有公共点，则实数\(k\)的取值范围为_____．
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