知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

已知$f(x)= \dfrac {\ln x}{1+x}-\ln x$，$f(x)$在$x=x_{0}$处取得最大值，以下各式中正确的序号为$($　　$)$
$①f(x_{0}) < x_{0}$；
$②f(x_{0})=x_{0}$；
$③f(x_{0}) > x_{0}$；
$④f(x_{0}) < \dfrac {1}{2}$；
$⑤f(x_{0}) > \dfrac {1}{2}$．

A．$①④$

B．$②④$

C．$②⑤$

D．$③⑤$

难度：难

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2．
已知$f(x)=x+ \dfrac {a}{x}-\ln x.a∈R$
$(1)$若$a=2$，求$f(x)$的单调区间；
$(2)$当$a\leqslant - \dfrac {1}{4}$时，若$f(x)\geqslant -\ln 2$在$x∈[2,e]$上恒成立，求$a$的取值范围．

难度：难

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3．
已知函数$f(x)=2\sin x+\sin 2x$，则$f(x)$的最小值是 ______ ．

难度：难

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4．
已知函数$f(x)= \dfrac {\ln x}{x}$，$g(x)= \dfrac {m}{x}- \dfrac {3}{x^{2}}-1$．
$($Ⅰ$)$求函数$f(x)$的单调区间；
$($Ⅱ$)$对一切$x∈(0,+∞)$，$2f(x)\geqslant g(x)$恒成立，求实数$m$的取值范围；
$($Ⅲ$)$证明：对一切$x∈(0,+∞)$，都有$\ln x < \dfrac {2x}{e}- \dfrac {x^{2}}{e^{x}}$成立．

难度：难

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5．

定义在$R$上的函数$f(x)$的导函数为$f{{"}}(x)$，$f(0)=0$若对任意$x∈R$，都有$f(x) > f{{"}}(x)+1$，则使得$f(x)+e^{x} < 1$成立的$x$的取值范围为$($　　$)$

A．$(0,+∞)$

B．$(-∞,0)$

C．$(-1,+∞)$

D．$(-∞,1)$

难度：难

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6．已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（1）函数f（x）在[2，3]上单调递减，求a的取值范围；
（2）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上的最小值．

难度：难

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7．已知函数f（x）=lnx-x+1．
（1）求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）证明：不等式lnx≤x-1恒成立．

难度：难

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8．已知函数f（x）=alnx+x²（a为实常数）．
（1）当a=-4时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值及相应的x值；
（2）当x∈[1，e]时，讨论方程f（x）=0根的个数．
（3）若a＞0，且对任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有 $%7Cf%28x_%7B1%7D%29-f%28x_%7B2%7D%29%7C%E2%89%A4%7C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx_%7B1%7D%7D-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx_%7B2%7D%7D%7C$ ，求实数a的取值范围．

难度：难

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9．已知函数f（x）= $%20%5Cfrac%20%7B%281-a%29x%5E%7B2%7D-ax%2Ba%7D%7Be%5E%7Bx%7D%7D$ 在区间[0，+∞）上的最大值为a，则实数a的取值范围是（　　）

A．（-∞，- $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7Be%5E%7B2%7D%2B5%7D$ ]

B．（-∞， $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7Be%5E%7B2%7D%2B5%7D$ ]

C．[- $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7Be%5E%7B2%7D%2B5%7D$ ，+∞）

D．[ $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7Be%5E%7B2%7D%2B5%7D$ ，+∞）

难度：难

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10．己知点F为抛物线C：y²=x的焦点，斜率为1的直线l交抛物线于不同两点P，Q．以F为圆心，以FP，FQ为半径作圆，分别交x轴负半轴于M，N，直线PM，QN交于点T．
(I)判断直线PM与抛物线C的位置关系，并说明理由；
(II)连接FT，FQ，FP，记S₁=S_△PFT，S₂=S_△QFT，S₃=S_△PQT设直线l在y轴上的截距为m，当m何值时， $%20%5Cfrac%20%7BS_%7B1%7DS_%7B2%7D%7D%7BS_%7B3%7D%7D$ 取得最小值，并求出取到最小值时直线l的方程．

难度：难

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